Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x)? Więcej pytań

Odpowiedź:

Zobacz poniżej:

Wyjaśnienie:

Zrzeczenie się - Zakładam to # phi_0 #, # phi_1 # i # phi_2 # oznaczają odpowiednio stany gruntowe, pierwsze wzbudzone i drugie stany wzbudzone nieskończonej studni - stany konwencjonalnie oznaczone przez # n = 1 #, # n = 2 #, i # n = 3 #. Więc, # E_1 = 4E_0 # i # E_2 = 9E_0 #.

(d) Możliwe wyniki pomiarów energii są # E_0 #, # E_1 # i # E_2 # - z prawdopodobieństwami #1/6#, #1/3# i #1/2# odpowiednio.

Te prawdopodobieństwa są niezależne od czasu (w miarę upływu czasu każdy element pobiera czynnik fazowy - prawdopodobieństwo, które jest podane przez moduł kwadratu współczynników - nie zmienia się w wyniku.

(c) Wartość oczekiwana wynosi # 6E_0 #. Prawdopodobieństwo pomiaru energii w wyniku tego wynosi 0. Jest to prawdziwe dla wszystkich czasów.

W rzeczy samej, # 6E_0 # nie jest wartością własną energii - aby pomiar energii nigdy nie dał tej wartości - bez względu na stan.

(e) Natychmiast po pomiarze, który daje # E_2 #, stan systemu jest opisany przez funkcję wavefunction

#psi_A (x, t_1) = phi_2 #

W #t_> t_1 #, funkcja wavef jest

# psi_A (x, t) = phi_2 e ^ {- iE_2 / ℏ (t-t_1)} #

Jedyną możliwą wartością, jaką przyniesie pomiar energii w tym stanie jest # E_2 # - w każdym momencie # t_2> t_1 #.

(f) Prawdopodobieństwa zależą od kwadratowego modułu współczynników - tak

#psi_B (x, 0) = sqrt {1/6} phi_0-sqrt {1/3} phi_1 + isqrt {1/2} phi_2 #

będzie działać (istnieje nieskończenie wiele możliwych rozwiązań). Należy zauważyć, że ponieważ prawdopodobieństwa nie uległy zmianie, wartość oczekiwana energii będzie automatycznie taka sama jak #psi_A (x, 0) #

(g) Od # E_3 = 16 E_0 #, możemy uzyskać wartość oczekiwaną # 6E_0 # Jeśli mamy # E_1 # i # E_3 # z prawdopodobieństwami # p # i # 1-p # Jeśli

# 6E_0 = pE_1 + (1-p) E_3 = 4pE_0 + 16 (1-p) E_0 oznacza #

# 16-12p = 6 oznacza p = 5/6 #

Tak więc możliwa jest funkcja falowa (ponownie jedna z nieskończenie wielu możliwości)

#psi_C (x, 0) = sqrt {5/6} phi_1 + sqrt {1/6} phi_3 #