Jak rozwiązać 3 log x = 6 - 2x?

Jak rozwiązać 3 log x = 6 - 2x?
Anonim

Odpowiedź:

Nie jestem pewien, czy można to rozwiązać

Jeśli jesteś naprawdę ciekawy liczby, odpowiedź brzmi:

# x = 2.42337 #

Wyjaśnienie:

Poza metodą Newtona nie jestem pewien, czy można to rozwiązać. Jedna rzecz, którą możesz zrobić, to udowodnić, że ma dokładnie jedno rozwiązanie.

# 3logx = 6-2x #

# 3logx + 2x-6 = 0 #

Zestaw:

#f (x) = 3logx + 2x-6 #

Zdefiniowane dla #x> 1 #

#f '(x) = 3 / (xln10) + 2 #

#f '(x) = (3 + 2xln10) / (xln10) #

Dla każdego #x> 1 # zarówno licznik, jak i mianownik są dodatnie, więc funkcja rośnie. Oznacza to, że może mieć maksymalnie jedno rozwiązanie (1)

Teraz, aby znaleźć wszystkie wartości #f (x) # #x> 1 # znaczy #x in (0, oo) #:

#lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_x -> (0 ^ +) (3logx + 2x-6) = - oo #

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) (3logx + 2x-6) = oo #

W związku z tym, #f (x) # może przyjąć dowolną wartość rzeczywistą, w tym 0, co oznacza #f (x) = 0 <=> 3logx + 2x-6 = 0 # może być rozwiązaniem przynajmniej raz (2)

(1) + (2) = (maksymalnie jeden) + (co najmniej jeden) = dokładnie jeden