Użyj twierdzenia o wartości pośredniej, aby pokazać, że istnieje pierwiastek równania x ^ 5-2x ^ 4-x-3 = 0 w przedziale (2,3)?

Odpowiedź:

Poniżej znajdziesz dowód.

Wyjaśnienie:

Jeśli #f (x) = x ^ 5-2x ^ 4-x-3 #

następnie

#color (biały) („XXX”) f (kolor (niebieski) 2) = kolor (niebieski) 2 ^ 5-2 * kolor (niebieski) 2 ^ 4-kolor (niebieski) 2-3 = kolor (czerwony) (-5) #

#color (biały) („XXX”) f (kolor (niebieski) 3) = kolor (niebieski) 3 ^ 5-2 * kolor (niebieski) 3 ^ 4-kolor (niebieski) 3-3 = 243-162-3 -3 = kolor (czerwony) (+ 75) #

Od #f (x) # jest standardową funkcją wielomianową, jest ciągła.

Dlatego na podstawie twierdzenia o wartości pośredniej dla dowolnej wartości #color (magenta) k #, pomiędzy #color (czerwony) (- 5) # i #color (czerwony) (+ 75) #, istnieje kilka #color (lime) (hatx) # pomiędzy #color (niebieski) 2 # i #color (niebieski) 3 # dla którego #f (kolor (limonka) (hatx)) = kolor (magenta) k #

Od #color (magenta) 0 # jest taka wartość, istnieje jakaś wartość #color (limonka) (hatx) w kolor (niebieski) 2, kolor (niebieski) 3 # takie #f (kolor (limonka) (hatx)) = kolor (magenta) 0 #

Jaka jest różnica między twierdzeniem o wartości pośredniej a twierdzeniem o wartości ekstremalnej?

Twierdzenie o wartości pośredniej (IVT) mówi, że funkcje ciągłe w przedziale [a, b] przyjmują wszystkie (pośrednie) wartości między ich skrajnościami. Twierdzenie o ekstremalnej wartości (EVT) mówi, że funkcje ciągłe na [a, b] osiągają swoje ekstremalne wartości (wysokie i niskie). Oto stwierdzenie EVT: Niech f będzie ciągłe na [a, b]. Następnie istnieją liczby c, d w [a, b] takie, że f (c) q f (x) q f f (d) dla wszystkich x w [a, b]. Mówiąc inaczej, „supremum” M i „infimum” m zakresu {f (x): x w [a, b]} istnieją (są skończone) i istnieją liczby c, d t [a, b] tak, że f (c) = m if (d) = M. Zauważ, że funkcj

Jaki jest pierwiastek kwadratowy z 7 + pierwiastek kwadratowy z 7 ^ 2 + pierwiastek kwadratowy z 7 ^ 3 + pierwiastek kwadratowy z 7 ^ 4 + pierwiastek kwadratowy z 7 ^ 5?

Sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) Pierwszą rzeczą, którą możemy zrobić, to anulować korzenie na tych z parzystymi mocami. Ponieważ: sqrt (x ^ 2) = x i sqrt (x ^ 4) = x ^ 2 dla dowolnej liczby, możemy po prostu powiedzieć, że sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = sqrt (7) + 7 + sqrt (7 ^ 3) + 49 + sqrt (7 ^ 5) Teraz 7 ^ 3 można przepisać jako 7 ^ 2 * 7, i że 7 ^ 2 może wydostać się z korzenia! To samo dotyczy 7 ^ 5, ale zostało przepisane jako 7 ^ 4 * 7 sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = sqrt (7) + 7 + 7sqrt (7) + 49

Jak użyć twierdzenia o wartości pośredniej do sprawdzenia, czy w przedziale [0,1] dla f (x) = x ^ 3 + x-1 występuje zero?

W tym przedziale jest dokładnie 1 zero. Twierdzenie o wartości pośredniej stwierdza, że dla funkcji ciągłej zdefiniowanej w przedziale [a, b] możemy pozwolić c być liczbą z f (a) <c <f (b) i że EE x w [a, b] takie, że f (x) = c. Następstwem tego jest to, że jeśli znak f (a)! = Znak f (b) oznacza to, że musi być jakiś x w [a, b], tak że f (x) = 0, ponieważ 0 jest oczywiście między negatywy i pozytywy. Podsumujmy więc punkty końcowe: f (0) = 0 ^ 3 + 0 -1 = -1 f (1) = 1 ^ 3 + 1 - 1 = 1 dlatego w tym przedziale jest co najmniej jedno zero. Aby sprawdzić, czy jest tylko jeden korzeń, przyjrzymy się pochodnej, która