Rozwiąż (x + 3) / (x + 2) + (x + 4) / (x + 3) = (x + 5) / (x + 4) - (x + 6) / (x + 5)?

Odpowiedź:

Rozwiązanie:

# (x + 3) / (x + 2) kolor (czerwony) (-) (x + 4) / (x + 3) = (x + 5) / (x + 4) - (x + 6) / (x + 5) #

jest #x = -7 / 2 #

Wyjaśnienie:

Załóżmy, że pytanie powinno być:

# (x + 3) / (x + 2) kolor (czerwony) (-) (x + 4) / (x + 3) = (x + 5) / (x + 4) - (x + 6) / (x + 5) #

Robiąc wspólne mianowniki po lewej stronie i po prawej stronie, staje się to:

# ((x + 3) (x + 3) - (x + 2) (x + 4)) / ((x + 2) (x + 3)) = ((x + 5) (x + 5) - (x + 4) (x + 6)) / ((x + 4) (x + 5)) #

Mnożąc liczniki otrzymujemy:

# ((x ^ 2 + 6x + 9) - (x ^ 2 + 6x + 8)) / ((x + 2) (x + 3)) = ((x ^ 2 + 10x + 25) - (x ^ 2 + 10x + 24)) / ((x + 4) (x + 5)) #

Większość terminów w liczniku anuluje się, aby dać nam:

# 1 / ((x + 2) (x + 3)) = 1 / ((x + 4) (x + 5)) #

Biorąc odwzajemnienie obu stron, staje się to:

# (x + 2) (x + 3) = (x + 4) (x + 5) #

który mnoży się jako:

# x ^ 2 + 5x + 6 = x ^ 2 + 9x + 20 #

Odejmowanie # x ^ 2 + 5x + 20 # z obu stron staje się to:

# -14 = 4x #

Podzielenie obu stron przez #2# i transponując otrzymujemy:

#x = -7 / 2 #

Odpowiedź:

W tej formie jest to typowy kwartik o przybliżonych korzeniach:

# x_1 ~~ -9.4400 #

# x_2 ~~ -0.28158 #

# x_3 ~~ -2.6392 + 4,5893i #

# x_4 ~~ -2.6392-4.5893i #

Wyjaśnienie:

Zakładając, że pytanie jest poprawne, jak podano …

Dany:

# (x + 3) / (x + 2) + (x + 4) / (x + 3) = (x + 5) / (x + 4) - (x + 6) / (x + 5) #

Odejmij prawą stronę od lewej, aby uzyskać:

# (x + 3) / (x + 2) + (x + 4) / (x + 3) - (x + 5) / (x + 4) + (x + 6) / (x + 5) = 0 #

Transponowanie i mnożenie obu stron przez # (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) # staje się to:

# 0 = (x + 3) ^ 2 (x + 4) (x + 5) + (x + 2) (x + 4) ^ 2 (x + 5) - (x + 2) (x + 3) (x + 5) ^ 2 + (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 6) #

#color (biały) (0) = (x ^ 4 + 15x ^ 3 + 83x ^ 2 + 201x + 180) + (x ^ 4 + 15x ^ 3 + 82x ^ 2 + 192x + 160) - (x ^ 4 + 15x ^ 3 + 81x ^ 2 + 185 + 150) + (x ^ 4 + 15x ^ 3 + 80x ^ 2 + 180x + 144) #

#color (biały) (0) = 2x ^ 4 + 30x ^ 3 + 164x ^ 2 + 573x + 149 #

Jest to typowy quartic, z dwoma prawdziwymi zerami irracjonalnymi i dwoma nierealnymi zerami złożonymi.

Możliwe jest, ale bardzo niechlujne, rozwiązanie algebraiczne. Korzystając z metody numerycznej, takiej jak Durand-Kerner, znajdziemy przybliżone rozwiązania:

# x_1 ~~ -9.4400 #

# x_2 ~~ -0.28158 #

# x_3 ~~ -2.6392 + 4,5893i #

# x_4 ~~ -2.6392-4.5893i #

Zobacz http://socratic.org/s/aKtpkf7J po więcej szczegółów.