Piłka spada z wysokości 12 stóp w dół. Po uderzeniu w ziemię odbija się o 1/3 odległości, którą spadł. Jak daleko będzie podróżować piłka (zarówno w górę, jak iw dół), zanim dojdzie do odpoczynku?

Odpowiedź:

Piłka przejdzie 24 stopy.

Wyjaśnienie:

Ten problem wymaga rozważenia nieskończonej serii. Rozważ rzeczywiste zachowanie piłki:

Najpierw piłka spada o 12 stóp.

Następnie piłka odbija się w górę #12/3 = 4# stopy.

Piłka spada wtedy o 4 stopy.

Przy każdym kolejnym odbiciu piłka podróżuje

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # stopy, gdzie # n # to liczba odbić

Tak więc, jeśli wyobrażamy sobie, że piłka zaczyna się od #n = 0 #, wtedy nasza odpowiedź może być uzyskana z serii geometrycznej:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

Zanotuj #-12# warunek korekty, to dlatego, że jeśli zaczniemy od # n = 0 # liczymy 0 odbicie o 12 stóp i 12 stóp w dół. W rzeczywistości piłka porusza się tylko w połowie, ponieważ zaczyna się w powietrzu.

Możemy uprościć naszą sumę do:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

To po prostu prosta seria geometryczna, zgodna z zasadą, że:

#lim_ (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

Tak długo jak # | r | <1 #

Daje to proste rozwiązanie naszego problemu:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# stopy.