Pytanie # ba262

Pytanie # ba262
Anonim

Odpowiedź:

Dowód jest nieco długi, ale możliwy do opanowania. Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Próbując udowodnić tożsamości trójwymiarowe z udziałem ułamków, zawsze dobrze jest najpierw dodać ułamki:

# sint / (1-koszt) + (1 + koszt) / sint = (2 (1 + koszt)) / sint #

# -> sint / (1-koszt) sint / sint + (1 + koszt) / sint (1-koszt) / (1-koszt) = (2 (1 + koszt)) / sint #

# -> sin ^ 2t / ((1-koszt) (sint)) + ((1 + koszt) (1-koszt)) / ((1-koszt) (sint)) = (2 (1 + koszt)) / sint #

# -> (sin ^ 2t + (1 + koszt) (1-koszt)) / ((1-koszt) (sint)) = (2 (1 + koszt)) / sint #

Ekspresja # (1 + koszt) (1-koszt) # w rzeczywistości jest to różnica kwadratów w przebraniu:

# (a + b) (a-b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Z # a = 1 # i # b = koszt #. Ocenia się # (1) ^ 2- (koszt) ^ 2 = 1-cos ^ 2 t #.

Możemy pójść jeszcze dalej # 1-cos ^ 2t #. Przypomnij sobie podstawową tożsamość Pitagorasa:

# cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Odejmowanie # cos ^ 2x # z obu stron widzimy:

# sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #

Od # x # jest po prostu zmienną zastępczą, możemy tak powiedzieć # sin ^ 2t = 1-cos ^ 2t #. Dlatego też # (1 + koszt) (1-koszt) # staje się # sin ^ 2t #:

# (sin ^ 2t + sin ^ 2t) / ((1-koszt) (sint)) = (2 (1 + koszt)) / sint #

# -> (2sin ^ 2t) / ((1-cost) (sint)) = (2 (1 + koszt)) / sint #

Pamiętaj, że sinusy anulują:

# (2cancel (sin ^ 2t) ^ sint) / ((1-koszt) anuluj ((sint))) = (2 (1 + koszt)) / sint #

# -> (2sint) / (1-koszt) = (2 (1 + koszt)) / sint #

Prawie skończyliśmy. Ostatnim krokiem jest pomnożenie lewej strony przez koniugat # 1-koszt # (który jest # 1 + koszt #), aby skorzystać z właściwości różnicy kwadratów:

# (2sint) / (1-koszt) (1 + koszt) / (1 + koszt) = (2 (1 + koszt)) / sint #

# -> (2sint (1 + koszt)) / ((1-koszt) (1 + koszt)) = (2 (1 + koszt)) / sint #

Znowu to widzimy # (1-koszt) (1 + koszt) # to różnica kwadratów, z # a = 1 # i # b = koszt #. Ocenia się # (1) ^ 2- (koszt) ^ 2 #lub # 1-cos ^ 2t #. Już to pokazaliśmy # sin ^ 2t = 1-cos ^ 2t #, więc mianownik zostaje zastąpiony:

# (2sint (1 + koszt)) / (sin ^ 2t) = (2 (1 + koszt)) / sint #

Sinusy anulują:

# (2cancel (sint) (1 + koszt)) / (anuluj (sin ^ 2t) ^ sint) = (2 (1 + koszt)) / sint #

I voila, dowód kompletny:

# (2 (1 + koszt)) / sint = (2 (1 + koszt)) / sint #

Odpowiedź:

Pozwól mi spróbować

Wyjaśnienie:

# LHS = sint / (1-koszt) + (1 + koszt) / sint #

Sprawdzanie RHS, które przyjmujemy powszechnie# (1 + koszt) / sint #

Więc

# LHS = (1 + koszt) / sint (sint / (1 + koszt) * sint / (1-koszt) +1) #

# = (1 + koszt) / sint (sin ^ 2t / (1-cos ^ 2t) +1) #

# = (1 + koszt) / sint (sin ^ 2t / sin ^ 2t + 1) #

# = (1 + koszt) / sint (1 + 1) #

# = (2 (1 + koszt)) / sint = RHS #

Udowodniono