Jakie jest równanie normalnej linii f (x) = x ^ 3-49x ^ 2 + 7x przy x = 7?

Odpowiedź:

# y = 1 / 532x-2009.013 #

Wyjaśnienie:

Normalna linia w punkcie jest linią prostopadłą do linii stycznej w tym punkcie. Kiedy rozwiązujemy tego typu problemy, odnajdujemy nachylenie linii stycznej za pomocą pochodnej, używamy tego do znalezienia nachylenia linii normalnej i używamy punktu z funkcji do znalezienia równania linii normalnej.

Krok 1: Nachylenie linii stycznej

Wszystko, co tutaj robimy, to pochodna funkcji i jej ocena # x = 7 #:

#y '= 3x ^ 2-98x + 7 #

#y '(7) = 3 (7) ^ 2-98 (7) + 7 #

#y '(7) = -532 #

Oznacza to nachylenie linii stycznej przy # x = 7 # wynosi -532.

Krok 2: Nachylenie linii normalnej

Nachylenie linii normalnej jest po prostu odwrotną odwrotnością nachylenia linii stycznej (ponieważ te dwie są prostopadłe). Więc po prostu przerzucamy -532 i robimy to pozytywnie #1/532# jako nachylenie linii normalnej.

Ostatni krok: znalezienie równania

Normalne równania linii mają formę # y = mx + b #, gdzie # y # i # x # są punkty na linii, # m # jest nachyleniem i #b# jest # y #-przechwycić. Mamy nachylenie, # m #, co znaleźliśmy w kroku drugim: #1/532#. Punkty # x # i # y # można łatwo znaleźć zastępując # x = 7 # do równania i rozwiązywania # y #:

# y = (7) ^ 3-49 (7) ^ 2 + 7 (7) #

#y = -2009 #

Teraz możemy wykorzystać wszystkie te informacje do znalezienia #b#, the # y #-przechwycić:

# y = mx + b #

# -2009 = (1/532) (7) + b #

# -2009 = 7/532 + b #

# -2009-7 / 532 = b #

Możemy zbliżyć to do -2009.013, lub jeśli naprawdę chcieliśmy, moglibyśmy to przybliżyć -2009.

Równanie linii normalnej jest w ten sposób # y = 1 / 532x-2009.013 #.