Rozwiąż następujące równanie w liczbach naturalnych: x² + y² = 1997 (x-y)?

Odpowiedź:

# (x, y) = (170, 145) # lub # (x, y) = (1817, 145) #

Wyjaśnienie:

Poniższy dowód opiera się na tym w książce „Wprowadzenie do równań diofantycznych: podejście problemowe” autorstwa Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu.

Dany:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 1997 (x-y) #

Pozwolić #a = (x + y) # i #b = (1997-x + y) #

Następnie:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (1997 (x-y) + xy) #

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) #

#=1997^2#

Stąd znajdziemy:

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

Od #1997# jest pierwszy, #za# i #b# nie mają wspólnego czynnika większego niż #1#.

Istnieją więc dodatnie liczby całkowite #m, n # z #m> n # i nie ma wspólnego czynnika większego niż #1# takie, że:

# {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} kolor (biały) (XX) "lub" kolor (biały) (XX) {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2), (b = 2 mn):} #

Patrzeć na # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # w mod #3# i mod #5# arytmetyka, znajdujemy:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #3#) stąd #m - = + -1 # i #n - = + -1 # (mod #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #5#) stąd #m - = + -1 # i #n - = + -1 # (mod #5#)

Oznacza to, że jedyne możliwości #m, n # modulo #15# są #1, 4, 11, 14#.

Ponadto należy pamiętać, że:

# m ^ 2 in (1997/2, 1997) #

Stąd:

#m in (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~~ (31,6, 44,7) #

Więc jedyne możliwości # m # są #34, 41, 44#

Znaleźliśmy:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# nie idealny kwadrat.

#1997 - 44^2 = 61# nie idealny kwadrat.

Więc # (m, n) = (34, 29) #

Więc:

# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #

lub

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972) #

#kolor biały)()#

Jeśli # (a, b) = (1972, 315) # następnie:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):} #

i stąd:

# (x, y) = (1817, 145) #

#kolor biały)()#

Jeśli # (a, b) = (315, 1972) # następnie:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):} #

i stąd:

# (x, y) = (170, 145) #