Udowodnij, że purpurowy obszar cieniowany jest równy obszarowi incircle trójkąta równobocznego (żółte paski)?

Udowodnij, że purpurowy obszar cieniowany jest równy obszarowi incircle trójkąta równobocznego (żółte paski)?
Anonim

Odpowiedź:

Wyjaśnienie:

Obszar incircle jest pir ^ 2 πr2.

Zauważając trójkąt prawy z przeciwprostokątną R R i noga r r u podstawy trójkąta równobocznego, poprzez trygonometrię lub właściwości 30 -60 -90 306090 prawe trójkąty możemy ustalić związek R = 2r R=2r.

Zauważ, że kąt przeciwny r r jest 30 30 od trójkąta równobocznego 60 60 kąt został przecięty.

Ten sam trójkąt można rozwiązać za pomocą twierdzenia Pitagorasa, aby pokazać, że połowa długości boku trójkąta równobocznego to sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 R2r2=4r2r2=r3.

Teraz badając połowę trójkąta równobocznego jako trójkąt prawy, widzimy wysokość h h trójkąta równobocznego można rozwiązać pod względem r r za pomocą relacji tan (60) = h / (rsqrt3) tan(60)=hr3. Od tan (60) = sqrt3 tan(60)=3, to staje się h / (rsqrt3) = sqrt3 hr3=3 więc h = 3r h=3r.

Obszar trójkąta równobocznego jest wtedy 1 / 2bh 12bh, a jej podstawą jest 2rsqrt3 2r3 i jego wysokość 3r 3r. Tak więc jego powierzchnia jest 1/2 (2rsqrt3) (3r) = 3r ^ 2sqrt3 12(2r3)(3r)=3r23.

Obszar mniejszego zacienionego obszaru jest równy jednej trzeciej obszaru trójkąta równobocznego minus incircle lub 1/3 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) 13(3r23πr2) co jest równoważne r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) r2(33π3).

Obszar większego okręgu to piR ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2 πR2=π(2r)2=4πr2.

Obszar większego zacienionego obszaru jest o jedną trzecią większego obszaru okręgu minus obszar trójkąta równobocznego, lub 1/3 (4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3) 13(4πr23r23) co ułatwia r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) r2(4π333).

Całkowita powierzchnia zacienionego obszaru wynosi wtedy r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) = r ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = r ^ 2 ((3pi) / 3) = pir ^ 2 r2(33π3)+r2(4π333)=r2(3333π+4π3)=r2(3π3)=πr2, co odpowiada obszarowi incircle.

Odpowiedź:

Wyjaśnienie:

Dla trójkąta równobocznego środek ciężkości, środek okręgu i ortocentrum pokrywają się.

Tak więc promień cicumcircle (R) i promień incircle (r) będą miały następującą zależność

R: r = 2: 1 => R = 2r R:r=2:1R=2r

Teraz z rysunku jest oczywiste, że obszar dużego fioletowego regionu cieniowanego = 1/3 (piR ^ 2-Delta)

I obszar MAŁEGO fioletowego regionu cieniowanego = 1/3 (Delta-pir ^ 2)

gdzie Delta reprezentuje obszar trójkąta równobocznego.

Więc

color (fioletowy) („CAŁKOWITY obszar BIG and SMALL purple shaded region”

= 1/3 (piR ^ 2-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2)

= 1/3 (piR ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2)

Wstawianie R = 2r

= 1/3 (pi (2r) ^ 2-pir ^ 2)

= 1/3 (4pir ^ 2-pir ^ 2)

= 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2

= pir ^ 2-> kolor (pomarańczowy) „Obszar żółtego kręgu w paski”