Udowodnij, że purpurowy obszar cieniowany jest równy obszarowi incircle trójkąta równobocznego (żółte paski)?

Odpowiedź:

Wyjaśnienie:

Obszar incircle jest # pir ^ 2 #.

Zauważając trójkąt prawy z przeciwprostokątną # R # i noga # r # u podstawy trójkąta równobocznego, poprzez trygonometrię lub właściwości #30 -60 -90 # prawe trójkąty możemy ustalić związek # R = 2r #.

Zauważ, że kąt przeciwny # r # jest #30 # od trójkąta równobocznego #60 # kąt został przecięty.

Ten sam trójkąt można rozwiązać za pomocą twierdzenia Pitagorasa, aby pokazać, że połowa długości boku trójkąta równobocznego to #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Teraz badając połowę trójkąta równobocznego jako trójkąt prawy, widzimy wysokość # h # trójkąta równobocznego można rozwiązać pod względem # r # za pomocą relacji #tan (60) = h / (rsqrt3) #. Od #tan (60) = sqrt3 #, to staje się # h / (rsqrt3) = sqrt3 # więc # h = 3r #.

Obszar trójkąta równobocznego jest wtedy # 1 / 2bh #, a jej podstawą jest # 2rsqrt3 # i jego wysokość # 3r #. Tak więc jego powierzchnia jest # 1/2 (2rsqrt3) (3r) = 3r ^ 2sqrt3 #.

Obszar mniejszego zacienionego obszaru jest równy jednej trzeciej obszaru trójkąta równobocznego minus incircle lub # 1/3 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # co jest równoważne # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

Obszar większego okręgu to # piR ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

Obszar większego zacienionego obszaru jest o jedną trzecią większego obszaru okręgu minus obszar trójkąta równobocznego, lub # 1/3 (4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3) # co ułatwia # r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

Całkowita powierzchnia zacienionego obszaru wynosi wtedy # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) = r ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = r ^ 2 ((3pi) / 3) = pir ^ 2 #, co odpowiada obszarowi incircle.

Odpowiedź:

Wyjaśnienie:

Dla trójkąta równobocznego środek ciężkości, środek okręgu i ortocentrum pokrywają się.

Tak więc promień cicumcircle (R) i promień incircle (r) będą miały następującą zależność

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

Teraz z rysunku jest oczywiste, że obszar dużego fioletowego regionu cieniowanego# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) #

I obszar MAŁEGO fioletowego regionu cieniowanego# = 1/3 (Delta-pir ^ 2) #

gdzie #Delta # reprezentuje obszar trójkąta równobocznego.

Więc

#color (fioletowy) („CAŁKOWITY obszar BIG and SMALL purple shaded region” #

# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# = 1/3 (piR ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2) #

Wstawianie R = 2r

# = 1/3 (pi (2r) ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1/3 (4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> kolor (pomarańczowy) „Obszar żółtego kręgu w paski” #