Jaka jest druga pochodna (f * g) (x), jeśli f i g są funkcjami takimi, że f '(x) = g (x) i g' (x) = f (x)?

Odpowiedź:

# (4f * g) (x) #

Wyjaśnienie:

Pozwolić #P (x) = (f * g) (x) = f (x) g (x) #

Następnie za pomocą reguły produktu:

#P '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x) #.

Korzystając z warunku podanego w pytaniu, otrzymujemy:

#P '(x) = (g (x)) ^ 2+ (f (x)) ^ 2 #

Teraz za pomocą reguł mocy i łańcucha:

#P '' (x) = 2g (x) g '(x) + 2f (x) f' (x) #.

Stosując ponownie specjalny warunek tego pytania, piszemy:

#P '' (x) = 2g (x) f (x) + 2f (x) g (x) = 4f (x) g (x) = 4 (f * g) (x) #

Odpowiedź:

Inna odpowiedź w przypadku # f * g # ma być składem #fa# i #sol#

Wyjaśnienie:

Chcemy znaleźć drugą pochodną # (f * g) (x) = f (g (x)) #

Rozróżniamy raz stosując regułę łańcucha.

# d / dxf (g (x)) = f '(g (x)) g' (x) = f '(g (x)) f (x) #

Następnie ponownie różnicujemy, stosując reguły łańcucha produktów

# d / dxf '(g (x)) f (x) = f' '(g (x)) g' (x) f (x) + f '(x) f' (g (x)) #

# = f '' (g (x)) f (x) ^ 2 + g (x) f '(g (x)) #