Niech G jest grupą cykliczną, a G = 48. Jak znaleźć całą podgrupę G?

Odpowiedź:

Wszystkie podgrupy są cykliczne, a rozkazy dzielą się #48#

Wyjaśnienie:

Wszystkie podgrupy grupy cyklicznej same są cykliczne, z porządkami, które dzielą kolejność grupy.

Aby zobaczyć dlaczego, załóżmy # G = <a> # jest cykliczny z zamówieniem # N # i #H sube G # jest podgrupą.

Jeśli # a ^ mw H # i # a ^ nw H #tak też jest # a ^ (pm + qn) # dla dowolnych liczb całkowitych #p, q #.

Więc # a ^ k w H # gdzie #k = GCF (m, n) # i oboje # a ^ m # i # a ^ n # są w # <a ^ k> #.

W szczególności, jeśli # a ^ k w H # z #GCF (k, N) = 1 # następnie #H = <a> = G #.

Również nie tak, jeśli #mn = N # następnie # <a ^ m> # jest podgrupą #SOL# z zamówieniem # n #.

Możemy wywnioskować:

• # H # ma nie więcej niż #1# generator.
• Kolejność # H # jest czynnikiem # N #.

W naszym przykładzie #N = 48 # a podgrupy są izomorficzne do:

# C_1 #, # C_2 #, # C_3 #, # C_4 #, # C_6 #, # C_8 #, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

istota:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #