Jaki jest wzór matematyczny do obliczania wariancji dyskretnej zmiennej losowej?

Odpowiedź:

Pozwolić #mu_ {X} = E X = sum_ {i = 1} ^ {infty} x_ {i} * p_ {i} # być średnią (wartość oczekiwana) dyskretnej zmiennej losowej # X # które mogą przyjmować wartości #x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, … # z prawdopodobieństwami #P (X = x_ {i}) = p_ {i} # (te listy mogą być skończone lub nieskończone, a suma może być skończona lub nieskończona). Różnica jest #sigma_ {X} ^ {2} = E (X-mu_ {X}) ^ 2 = sum_ {i = 1} ^ {infty} (x_ {i} -mu_ {X}) ^ 2 * p_ { ja}#

Wyjaśnienie:

Poprzedni akapit jest definicją wariancji #sigma_ {X} ^ {2} #. Następujący bit algebry, wykorzystujący liniowość operatora wartości oczekiwanej #MI#, pokazuje na to alternatywną formułę, która jest często łatwiejsza w użyciu.

#sigma_ {X} ^ {2} = E (X-mu_ {X}) ^ 2 = E X ^ 2-2mu_ {X} X + mu_ {X} ^ {2} #

# = E X ^ 2 -2mu_ {X} E X + mu_ {X} ^ {2} = E X ^ 2 -2mu_ {X} ^ {2} + mu_ {X} ^ {2 } #

# = E X ^ 2 -mu_ {X} ^ {2} = E X ^ {2} - (E X) ^ 2 #,

gdzie #E X ^ {2} = sum_ {i = 1} ^ {infty} x_ {i} ^ {2} * p_ {i} #

Co to jest zmienna losowa? Jaki jest przykład dyskretnej zmiennej losowej i ciągłej zmiennej losowej?

Patrz poniżej. Zmienna losowa to liczbowe wyniki zbioru możliwych wartości z losowego eksperymentu. Na przykład losowo wybieramy but ze sklepu obuwniczego i szukamy dwóch liczbowych wartości jego rozmiaru i ceny. Dyskretna zmienna losowa ma skończoną liczbę możliwych wartości lub nieskończoną sekwencję policzalnych liczb rzeczywistych. Na przykład rozmiar butów, które mogą przyjmować tylko skończoną liczbę możliwych wartości. Podczas gdy ciągła zmienna losowa może przyjmować wszystkie wartości w przedziale liczb rzeczywistych. Na przykład cena obuwia może przyjmować dowolną wartość pod względem waluty.

Jaka jest dolna granica wariancji zmiennej losowej?

0 intuicyjnie 0 wariancja przy użyciu różnicy kwadratów to (x-mu) ^ 2. Istnieją oczywiście inne możliwości, ale ogólnie wynik końcowy nie będzie negatywny. Na ogół najniższą możliwą wartością jest 0, ponieważ jeśli x = mu rightarrow (x-mu) ^ 2 = 0 x> mu rightarrow (x-mu) ^ 2> 0 x <mu rightarrow (x-mu) ^ 2> 0

Jaki jest wzór matematyczny wariancji ciągłej zmiennej losowej?

Formuła jest taka sama, niezależnie od tego, czy jest to zmienna losowa dyskretna, czy zmienna losowa ciągła. niezależnie od typu zmiennej losowej, formuła wariancji to sigma ^ 2 = E (X ^ 2) - [E (X)] ^ 2. Jeśli jednak zmienna losowa jest dyskretna, używamy procesu sumowania. W przypadku ciągłej zmiennej losowej używamy całki. E (X ^ 2) = int_-infty ^ infty x ^ 2 f (x) dx. E (X) = int_-infty ^ infty x f (x) dx. Z tego otrzymujemy sigma ^ 2 przez podstawienie.