Jak odpowiedzieć na te pytania za pomocą integracji?

Odpowiedź:

Obszar jest # = (32/3) u ^ 2 # a objętość jest # = (512 / 15pi) u ^ 3 #

Wyjaśnienie:

Zacznij od znalezienia punktu przecięcia z osią x

# y = 4x-x ^ 2 = x (4-x) = 0 #

W związku z tym, # x = 0 # i # x = 4 #

Obszar jest

# dA = ydx #

# A = int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx #

# = 2x ^ 2-1 / 3x ^ 3 _0 ^ 4 #

#=32-64/3-0#

# = 32 / 3u ^ 2 #

Głośność to

# dV = piy ^ 2dx #

# V = piint_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) ^ 2dx #

# = piint_0 ^ 4 (16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4) dx #

# = pi 16 / 3x ^ 3-2x ^ 4 + 1 / 5x ^ 5 _0 ^ 4 #

# = pi (1024 / 3-512 + 1024 / 5-0) #

# = pi (5120 / 15-7680 / 15 + 3072/15) #

# = pi (512/15) #

Odpowiedź:

za. #32/3#

b. # (512pi) / 15 #

Wyjaśnienie:

Najpierw musimy znaleźć punkty, w których wykres przecina # x #-oś.

# 4x-x ^ 2 = x (4-x) = 0 #

Zarówno # x = 0 # lub # 4-x = 0 #

# x = 0 lub 4 #

Teraz znamy nasze górne i dolne granice.

za. # "Obszar pod wykresem" = int_b ^ af (x) dx #

# int_0 ^ 4 4x-x ^ 2dx = 2x ^ 2-x ^ 3/3 _0 ^ 4 = (2 (4) ^ 2-4 ^ 3/3) - (2 (0) ^ 2-0 ^ 3/3) = 32/3 #

b. # "Volume of rotation" = piint_b ^ a (f (x)) ^ 2dx #

#f (x) ^ 2 = (4x-x ^ 2) ^ 2 = 16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4 #

# piint_0 ^ 4 16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4dx = pi (16x ^ 3) / 3-2x ^ 4 + x ^ 5/5 _0 ^ 4 = pi ((16 (4) ^ 3) / 3-2 (4) ^ 4 + 4 ^ 5/5) - ((16 (0) ^ 3) / 3-2 (0) ^ 4 + 0 ^ 5/5) = pi 512/15 = (512pi) / 15 #