Jak pomnożyć (4 + 6i) (3 + 7i) w formie trygonometrycznej?

Przede wszystkim musimy przekształcić te dwie liczby w formy trygonometryczne.

Jeśli # (a + ib) # jest liczbą złożoną, # u # jest jego wielkością i #alfa# to jego kąt # (a + ib) # w formie trygonometrycznej jest napisane jako #u (cosalpha + isinalpha) #.

Wielkość liczby zespolonej # (a + ib) # jest dany przez#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # a jego kąt jest określony przez # tan ^ -1 (b / a) #

Pozwolić # r # być wielkością # (4 + 6i) # i # theta # być jego kątem.

Wielkość # (4 + 6i) = sqrt (4 ^ 2 + 6 ^ 2) = sqrt (16 + 36) = sqrt52 = 2sqrt13 = r #

Kąt # (4 + 6i) = Tan ^ -1 (6/4) = tan ^ -1 (3/2) = theta #

#implies (4 + 6i) = r (Costheta + isintheta) #

Pozwolić # s # być wielkością # (3 + 7i) # i # phi # być jego kątem.

Wielkość # (3 + 7i) = sqrt (3 ^ 2 + 7 ^ 2) = sqrt (9 + 49) = sqrt58 = s #

Kąt # (3 + 7i) = Tan ^ -1 (7/3) = phi #

#implies (3 + 7i) = s (Cosphi + isinphi) #

Teraz,

# (4 + 6i) (3 + 7i) #

# = r (Costheta + isintheta) * s (Cosphi + isinphi) #

# = rs (costhetacosphi + isinthetacosphi + icosthetasinphi + i ^ 2sinthetasinphi) #

# = rs (costhetacosphi-sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi + costhetasinphi) #

# = rs (cos (theta + phi) + isin (theta + phi)) #

Tutaj mamy wszystko, co jest obecne, ale jeśli tutaj bezpośrednio zastąpi wartości, które byłyby niechlujne dla znalezienia #theta + phi # więc najpierw się przekonajmy # theta + phi #.

# theta + phi = tan ^ -1 (3/2) + tan ^ -1 (7/3) #

Wiemy to:

# tan ^ -1 (a) + tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((a + b) / (1-ab)) #

#impls tan ^ -1 (3/2) + tan ^ -1 (7/3) = tan ^ -1 (((3/2) + (7/3)) / (1- (3/2) (7/3))) = tan ^ -1 ((9 + 14) / (6-21)) #

# = tan ^ -1 ((23) / (- 15)) = tan ^ -1 (-23/15) #

#implies theta + phi = tan ^ -1 (-23/15) #

#rs (cos (theta + phi) + isin (theta + phi)) #

# = 2sqrt13sqrt58 (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #

# = 2sqrt (754) (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #

To twoja ostateczna odpowiedź.

Możesz to zrobić również inną metodą.

Najpierw mnożąc liczby zespolone, a następnie zmieniając je na formę trygonometryczną, co jest znacznie łatwiejsze.

# (4 + 6i) (3 + 7i) = 12 + 28i + 18i + 42i ^ 2 = 12 + 46i-42 = -30 + 46i #

Teraz zmień # -30 + 46i # w formie trygonometrycznej.

Wielkość # -30 + 46i = sqrt ((- 30) ^ 2 + (46) ^ 2) = sqrt (900 + 2116) = sqrt3016 = 2sqrt754 #

Kąt # -30 + 46i = tan ^ -1 (46 / -30) = tan ^ -1 (-23/15) #

#implies -30 + 46i = 2sqrt754 (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #