Dwie strony trójkąta mają długość 6 mi 7 m, a kąt między nimi rośnie z szybkością 0,07 rad / s. Jak znaleźć szybkość, z jaką obszar trójkąta rośnie, gdy kąt między bokami stałej długości wynosi pi / 3?

Ogólne kroki to:

1. Narysuj trójkąt zgodny z podanymi informacjami, oznaczając odpowiednie informacje
2. Określ, które formuły mają sens w danej sytuacji (Obszar całego trójkąta oparty na dwóch bokach o stałej długości i zależności między trójkątami prostymi dla zmiennej wysokości)
3. Powiąż dowolne nieznane zmienne (wysokość) z powrotem do zmiennej # (theta) # co odpowiada jedynej podanej stawce # ((d theta) / (dt)) #
4. Zrób kilka podstaw w formule „głównej” (formuła obszaru), aby można było przewidzieć przy użyciu podanej stawki
5. Rozróżnij i użyj podanej stawki, aby znaleźć kurs, do którego dążysz # ((dA) / (dt)) #

Zapiszmy formalnie informacje podane:

# (d theta) / (dt) = „0,07 rad / s” #

Następnie masz dwa boki o stałej długości i kąt między nimi. Trzecia długość jest wartością zmienną, ale technicznie jest to nieistotna długość. Chcemy # (dA) / (dt) #. Jednak nic nie wskazuje na to, że jest to trójkąt prawy, więc zacznijmy od założenia, że nie jest to obecnie.

Teoretycznie spójny trójkąt to:

Pamiętaj, że nie jest to proporcjonalne do prawdziwego trójkąta. Obszar ten można najłatwiej znaleźć dzięki:

#A = (B * h) / 2 #

gdzie nasza baza jest oczywiście #6#. Co jest # h #, chociaż? Jeśli narysujemy linię podziału pionowo od wierzchołka do podstawy, automatycznie mamy trójkąt prawy po lewej stronie ogólnego trójkąta, bez względu długości boku # x #:

Teraz my robić mieć trójkąt prawy. Zauważ jednak, że nasza formuła obszaru ma # h # ale nie # theta #i wiemy tylko # (d theta) / (dt) #. Więc musimy reprezentować # h # pod kątem. Wiedząc, że jedyną znaną stroną w lewym trójkącie jest lewy #7#-zapięta strona:

#sintheta = h / 7 #

# 7sintheta = h #

Do tej pory mamy:

# (d theta) / (dt) = „0,07 rad / s” # (1)

#A = (Bh) / 2 # (2)

# 7sintheta = kolor (zielony) (h) # (3)

Więc możemy podłączyć (3) w (2), Rozróżniać (2) i pośrednio nabywają # (d theta) / (dt) #i wtyczkę (1) w (2) rozwiązać # (dA) / (dt) #, nasz cel:

#A = (6 * kolor (zielony) (7sintheta)) / 2 = 21sintheta #

#color (niebieski) ((dA) / (dt)) = 21costheta ((d theta) / (dt)) #

# = 21costheta („0,07 rad / s”) #

Wreszcie #theta = pi / 3 #, mamy #cos (pi / 3) = 1/2 # i:

# = 10,5 (0,07) = kolor (niebieski) („0,735 u” ^ 2 ”/ s”) #

(zauważ to #6*7# oznacza, że jednostki stają się # "u" * "u" = "u" ^ 2 #, i #2# nie ma długości boku, więc nie ma jednostek. Również, # "rad" # zwykle uważa się za pominięte, tj. # "rad / s" => "1 / s" #)