Przepisz równanie w obróconym x'y'-systemie bez terminu x'y. Czy mogę uzyskać pomoc? Dzięki!

Odpowiedź:

Drugi wybór:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Wyjaśnienie:

Podane równanie

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

jest w ogólnej formie kartezjańskiej dla sekcji stożkowej:

# Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

gdzie #A = 31, B = 10sqrt3, C = 21, D = 0, E = 0 i F = -144 #

Referencyjny obrót osi daje nam równania, które pozwalają nam obracać stożkową sekcję do określonego kąta, # theta #. Daje nam także równanie, które pozwala nam wymusić współczynnik współczynnika # xy # stać się 0.

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

Zastępowanie wartości z równania 1:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

Uproszczać:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

Użyj równania (9.4.4b), aby sprawdzić, czy nowy obrót powoduje współczynnik # xy # termin to 0:

#B '= (A-C) sin (2theta) + B cos (2theta) #

#B '= (31-21) sin (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) #

#B '= 0 larr # zweryfikowany.

Użyj równania (9.4.4a) do obliczenia #ZA'#:

#A '= (A + C) / 2 + (A - C) / 2 cos (2theta) - B / 2 sin (2theta) #

#A '= (31 + 21) / 2 + (31 - 21) / 2 cos (2 (-pi / 6)) - (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#A '= 36 #

Użyj równania (9.4.4c) do obliczenia #DO'#:

#C '= (A + C) / 2 + (C - A) / 2 cos (2theta) + B / 2 sin (2theta) #

#C '= (31 + 21) / 2 + (21 - 31) / 2 cos (2 (-pi / 6)) + (10sqrt3) / 2 grzech (2 (-pi / 6)) #

#C '= 16 #

Użyj równania (9.4.4f), aby obliczyć #FA'#

#F '= F #

#F '= -144 #

Teraz możemy napisać niezwróconą formę:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

Podziel obie strony przez 144:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

Dodaj 1 do obu stron:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Odpowiedź:

Opcja B

Wyjaśnienie:

Możemy zapisać równanie w formie macierzy, a następnie obrócić je na jego główną oś.

Pozwolić:

#bb x ^ T M bb x = x, y (a, b), (b, c) (x), (y) = Q #

# = (x, y) (ax + b y), (bx + cy) = Q #

# = ax ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

# wymaga a = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 #

I tak w formie matrycy:

#bb x ^ T (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 qquad square #

Aby obrócić osie # bbx # przez # theta #:

#bb x ^ '= R (theta) bb x #

• #implies bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

Transpozycja #bb x ^ '= R bb x #:

#implies bb x ^ ('^ T) = (R bbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

#implies bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #, ponieważ R jest ortogonalne

• #implies bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

Umieszczenie tych 2 ostatnich wyników w #plac#:

#bb x ^ ('^ T) R (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) R ^ (- 1) bb x ^' = 144 #

IOW jeśli R jest matrycą, która diagonalizuje M, następnie mamy równanie pod względem jego głównych osi dla macierzy wektorów diagonalnych re, tj.:

• #D = R M R ^ (- 1) #

M wartości własne wynoszą 36 i 16, więc można je sklasyfikować jako:

#bb x ^ ('^ T) D bb x ^' = bb x ^ ('^ T) (36, 0), (0, 16) bb x ^' = 144 #

# (x ', y') (9, 0), (0, 4) ((x '), (y')) = 36 #

#x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ 2) / 9 = 1 #