Jaka jest ogólna formuła dyskryminatora wielomianu stopnia n?

Odpowiedź:

Zobacz wyjaśnienie …

Wyjaśnienie:

Wyróżnik wielomianu #f (x) # stopnia # n # można opisać w kategoriach wyznacznika macierzy Sylwestra #f (x) # i #f '(x) # następująco:

Dany:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

Mamy:

#f '(x) = na_ (n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

Macierz Sylwestra #f (x) # i #f '(x) # jest # (2n-1) xx (2n-1) # macierz utworzona przy użyciu ich współczynników, podobnie jak w poniższym przykładzie dla # n = 4 # …

# ((a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0, 0), (0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0), (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Wtedy dyskryminator #Delta# podano w kategoriach wyznacznika macierzy Sylwestra według wzoru:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

Dla # n = 2 # mamy:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(które możesz znaleźć bardziej rozpoznawalne w formularzu #Delta = b ^ 2-4ac #)

Dla # n = 3 # mamy:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#color (biały) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

Wyróżniki dla kwadratów (# n = 2 #) i kubiki (# n = 3 #) są najbardziej użyteczne, ponieważ mówią dokładnie, ile rzeczywistych, powtórzonych lub nierealnych zespolonych zer ma wielomian.

Interpretacja dyskryminatora dla wielomianów wyższego rzędu jest bardziej ograniczona, ale zawsze ma właściwość, że wielomian ma powtarzające się zera, jeśli i tylko wtedy, gdy wyróżnikiem jest zero.

#kolor biały)()#

Dalsza lektura

Zobacz