Znajdź obszar zacienionego regionu?

Odpowiedź:

Patrz poniżej.

Wyjaśnienie:

Kiedy po raz pierwszy uczymy się znajdować obszary przez integrację, bierzemy reprezentatywne prostokąty w pionie.

Prostokąty mają podstawę # dx # (mała zmiana w # x #) i wysokości równe większej # y # (ten na górnej krzywej) minus mniejszy # y # wartość (ta na dolnej krzywej). Następnie integrujemy od najmniejszych # x # wartość do największej # x # wartość.

W przypadku tego nowego problemu moglibyśmy użyć dwóch takich intergrali (patrz odpowiedź Jima S), ale bardzo cenne jest nauczenie się odwracać nasze myślenie #90^@#.

Będziemy przyjmować reprezentatywne prostokąty przerażająco.

Prostokąty mają wysokość # dy # (mała zmiana w # y #) i podstawy równe większej # x # (ten na prawej krzywej) minus mniejszy # x # wartość (ta na lewej krzywej). Następnie integrujemy od najmniejszych # y # wartość do największej # y # wartość.

Zauważ dualność

# {:("vertical", iff, "horizontal"), (dx, iff, dy), („upper”, iff, „rightmost”), („lower”, iff, „leftmost”), (x, iff, y):} #

Zwrot „od najmniejszego # x # wartość do największej # x # wartość. ”wskazuje, że integrujemy się od lewej do prawej (w kierunku zwiększania # x # wartości.)

Zwrot „od najmniejszego # y # wartość do największej # y # wartość. ”wskazuje, że integrujemy się od dołu do góry (w kierunku zwiększania # y # wartości.)

Oto zdjęcie regionu z małym prostokątem wskazanym:

Obszar jest

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

Odpowiedź:

Obszar zacienionego obszaru to # 1m ^ 2 #

Wyjaśnienie:

# x = 1 / y ^ 2 #

# y ^ 2 = 1 / x #

# y = sqrtx / x # (widzimy na wykresie)

# sqrtx / x = x # #<=># # x ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# x ^ 4-x = 0 # #<=># #x (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # x = 1 # (możemy też zobaczyć na wykresie)

Jednym z wielu sposobów wyrażenia obszaru zacieniowanego może być obszar trójkąta # AhatOB = Ω # wyłączając obszar cyan, który zadzwonię #color (cyan) (Ω_3) #

Pozwolić #Ω_1# być czarnym obszarem pokazanym na wykresie i #color (zielony) (Ω_2) # zielony obszar pokazany na wykresie.

Obszar małego trójkąta # ChatAD = # #color (zielony) (Ω_2) # będzie:

• #color (zielony) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# sqrtx / x = 2 # #<=># # sqrtx = 2x # #<=># # x = 4x ^ 2 #

#<=># # x = 1/4 #

Obszar #Ω_1# będzie:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 = #

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

W rezultacie zacieniony obszar będzie

• #Ω_1## + kolor (zielony) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1 m ^ 2 #