Dwa rogi trójkąta równoramiennego znajdują się na (2, 1) i (7, 5). Jeśli pole trójkąta wynosi 4, jakie są długości boków trójkąta?

Odpowiedź:

Istnieją trzy możliwości:

#color (biały) („XXX”) {6.40,3.44,3.44} #

#color (biały) („XXX”) {6,40, 6,40, 12,74} #

#color (biały) („XXX”) {6,40, 6,40, 1,26} #

Wyjaśnienie:

Zwróć uwagę na odległość między #(2,1)# i #(7,5)# jest #sqrt (41) ~~ 6,40 #

(używając twierdzenia Pitagorasa)

Przypadek 1

Jeśli bok ma długość #sqrt (41) # nie jest jednym z równych boków długości

następnie używając tej strony jako podstawy wysokości # h # trójkąta można obliczyć z obszaru jako

#color (biały) („XXX”) ((hsqrt (41)) / 2 = 4) rArr (h = 8 / sqrt (41)) #

a dwa boki o równej długości (przy użyciu twierdzenia Pitagorasa) mają długości

#color (biały) („XXX”) sqrt ((sqrt (41) / 2) ^ 2 + (8 / sqrt (41)) ^ 2) ~~ 3,44 #

Przypadek 2

Jeśli bok ma długość #sqrt (41) # jest jednym z boków równej długości

wtedy jeśli druga strona ma długość #za#, używając Formuły Herona

#color (biały) („XXX”) #semiperimeter, # s # równa się # a / 2 + sqrt (41) #

i

#color (biały) ("XXX") "Obszar" = 4 = sqrt ((a / 2 + sqrt (41)) (a / 2) (a / 2) (sqrt (41) -a / 2)) #

#color (biały) („XXXXXXXXX”) = a / 2sqrt (41-a ^ 2) #

które można uprościć jako

#color (biały) („XXX”) a ^ 4-164a ^ 2 + 256 = 0 #

następnie zastępowanie # x = a ^ 2 # i używając wzoru kwadratowego

dostajemy:

#color (biały) („XXX”) a = 12,74 lub a = 1,26 #