Jak znaleźć grzech (x / 2), cos (x / 2) i tan (x / 2) z danego łóżeczka (x) = 13?

Odpowiedź:

W rzeczywistości są cztery wartości # x / 2 # na okręgu jednostkowym, więc cztery wartości dla każdej funkcji trig. Główna wartość kąta półokresowego wynosi około # 2.2 ^ circ. #

#cos (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

#tan (1 / 2tekst {Łuk} tekst {łóżeczko} 13) = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Zobacz wyjaśnienie pozostałych.

Wyjaśnienie:

Porozmawiajmy najpierw o odpowiedzi. Istnieją dwa kąty w okręgu jednostkowym, którego cotangens jest #13#. Jeden jest w pobliżu # 4.4 ^ circ #, a innym jest to plus # 180 ^ circ #, nazwać # 184.4 ^ circ #. Każdy z nich ma dwa kąty pół, ponownie rozdzielone # 180 ^ circ. # Pierwszy ma pół kąty # 2.2 ^ circ # i # 182.2 ^ circ #, drugi ma pół kąty # 92.2 ^ circ # i # 272.2 ^ circ #, Tak więc są naprawdę cztery kąty pół, o różnych, ale powiązanych wartościach dla ich funkcji wyzwalających.

Użyjemy powyższych kątów jako przybliżeń, więc mamy dla nich nazwy.

Kąty z cotangentem 13:

#text {Arc} text {cot} 13 około 4.4 ^ circ #

# 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13 ok 184.4 ^ circ #

Pół kąty:

# 1/2 tekst {Łuk} tekst {łóżeczko} 13 ok. 2.2 ^ kółko #

# 1/2 (360 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) około 182.2 ^ circ #

# 1/2 (180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) approx 92.2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) około 272.2 ^ circ #

OK, formuły podwójnego kąta cosinusa to:

#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #

więc odpowiednie formuły półokresu są

#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))} #

#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #

To wszystko wstępne. Zróbmy problem.

Najpierw zrobimy mały kąt, # 2.2 ^ circ. # Widzimy, że reszta to tylko wielokrotności # 90 ^ circ # powyżej, więc możemy uzyskać ich funkcje wyzwalania z tego pierwszego kąta.

Cotangens 13 jest nachyleniem #1/13# odpowiada to trójkątowi prawemu z przeciwnym #1#, obok #13# i przeciwprostokątna #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}. #

#cos (text {Arc} text {cot} 13) = cos 4.4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #

#sin (text {Arc} text {cot} 13) = sin 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170} #

Teraz stosujemy formuły półksiężyca. Dla naszego kąta malutkiego w pierwszym kwadrancie wybieramy znaki pozytywne.

#cos (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + cos (4,4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

Moglibyśmy spróbować uprościć i przenieść frakcje poza radykałem, ale zamierzam to zostawić tutaj.

#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

Styczny połówkowy kąt jest ilorazem tych, ale jest łatwiejszy w użyciu

# tan (theta / 2) = {sin theta} / {1 + cos theta} #

#tan (tekst 1/2 {łuk} {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt (170) - 13 #

OK, to wszystko trudne, ale nie zapominajmy o innych kątach.

# cos 182.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin 182.2 ^ circ = -sin 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

# tan 182.2 ^ circ = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Teraz mamy pozostałe kąty, które zamieniają sinus i cosinus, zmieniając znaki. Nie będziemy powtarzać formularzy z wyjątkiem stycznej.

# cos 92.2 ^ circ = - sin 2.2 ^ circ #

#sin 92.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #

# tan 92,2 ^ circ = -1 / {tan 2.2 ^ circ} = -13 - sqrt (170) #

# cos 272.2 ^ circ = sin 2.2 ^ circ #

#sin 272.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ #

# tan 272.2 ^ circ = tan 92,2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #

Uff.

Odpowiedź:

#color (indygo) (tan (x / 2) = 0,0384, sin (x / 2) = + -0,0384, cos (x / 2) = + - 1 #

#color (crimson) (tan (x / 2) = -26,0384, sin (x / 2) = + - 0,9993, cos (x / 2) = + - 0,0384 #

Wyjaśnienie:

# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) #

#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2 x) #

+ cos 2x = (1- 2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #

#cot x = 1 / tan x = 13 #

#tan x = 1/13 #

#tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #

# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) #

# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #

#tan (x / 2) = 0.0384, -26.0384 #

# csc ^ 2x = 1 + łóżeczko ^ 2 x #

#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + łóżeczko ^ 2 (x / 2) #

Ale wiedzieli #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #

Gdy #tan (x / 2) = 0.0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0,0384) ^ 2 = 679,684 #

#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #

#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0,0384 / 0,0384 = + - 1 #

Gdy #tan (x / 2) = -26,0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #

#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0,9993 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + -0,9993 / -26,0384 = + -0,0384 #