Rozwiąż następujące równanie: (x ^ 2-2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2)?

Odpowiedź:

# x = -sqrt11, -sqrt19 / 3, sqrt19 / 3, sqrt11 #

Wyjaśnienie to daje raczej dogłębną metodę określania kroków w celu znalezienia możliwych czynników, na podstawie których można przepisać równanie typu kwadratowego, aby można było je rozwiązać bez równania kwadratowego i / lub kalkulatora.

Wyjaśnienie:

Pierwszy kwadrat termin po lewej stronie równania.

# (x ^ 2-2) / 3 + (x ^ 2-1) ^ 2/25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Rozwiń kwadratowy dwumian. Odwołaj to # (x ^ 2-1) ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2-1) #.

# (x ^ 2-2) / 3 + (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Możemy usunąć ułamki mnożąc równanie przez najmniejszy wspólny mianownik #3,25,# i #9,# który jest #225#.

Zauważ, że #225=3^2*5^2#, więc #225/3=75#, #225/25=9#, i #225/9=25#.

Pomnożenie przez #225# daje:

# 75 (x ^ 2-2) +9 (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) = 25 (7) (x ^ 2-2) #

Rozdziel każdą stałą mnożnikową.

# 75x ^ 2-150 + 9x ^ 4-18x ^ 2 + 9 = 175x ^ 2-350 #

Przenieś wszystkie terminy na bok i zmień kolejność równania.

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 0 #

Ma to potencjał, by być czynnikowalnym: brak # x ^ 3 # i # x # terminy oznaczają, że można to uwzględnić w formularzu # (x ^ 2 + a) (x ^ 2 + b) #.

Aby sprawdzić czynniki, należy zauważyć, że powinniśmy znaleźć parę liczb całkowitych, których produkt jest iloczynem pierwszego i końcowego współczynnika, który jest # 9xx209 = 3 ^ 2 * 11 * 19 #. Te same liczby całkowite, których produktem jest #3^2*11*19# powinien mieć sumę #-118#.

Ponieważ produkt jest dodatni, a suma ujemna, wiemy, że obie liczby całkowite będą dodatnie.

Sztuczka polega teraz na znalezieniu kombinacji liczb, które pochodzą #3^2*11*19# której suma jest #118#. (Jeśli znajdziemy wersję pozytywną, możemy łatwo zmienić obie liczby na ich negatywną formę).

Powinniśmy próbować wymyślić grupy czynników z #3^2*11*19# które nie przekraczają #118#.

Możemy prewencyjnie wyeliminować możliwość #3^2*19# i #11*19# występujące jako jedna z naszych dwóch liczb całkowitych, ponieważ obie są większe niż #118#. Tak więc, jeśli skupimy się na #19# ponieważ jest to największy czynnik, wiemy, że będzie istnieć tylko jako #19# lub #3*19#.

Tak więc nasze jedyne dwie opcje dla liczb całkowitych to:

# {:(bb "Integer 1", "", bb "Integer 2", "", bb "Sum"), (19, "", 3 ^ 2 * 11 = 99, "", 118), (19 * 3 = 57, „”, 3 * 11 = 33, „”, 90):} #

Stąd nasza para liczb, których produktem jest #3^2*11*19# i suma jest #118# jest #19# i #99#.

Z tego możemy napisać kwartik jako:

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 9x ^ 4-99x ^ 2-19x ^ 2 + 209 #

Czynnik przez grupowanie:

# 9x ^ 2 (x ^ 2-11) -19 (x ^ 2-11) = (9x ^ 2-19) (x ^ 2-11) = 0 #

Podziel to na dwa równania:

# 9x ^ 2-19 = 0 "" => "" x ^ 2 = 19/9 "" => "" x = + - sqrt19 / 3 #

# x ^ 2-11 = 0 "" => "" x ^ 2 = 11 "" => "" x = + - sqrt11 #

Odpowiedź:

Równania z ułamkami zawsze wyglądają gorzej niż są. Dopóki masz równanie, a nie wyrażenie, możesz pozbyć się mianowników, mnożąc je przez LCM mianowników.

Wyjaśnienie:

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Zacznijmy od kwadratu mianownika w drugim terminie.

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) ^ 2) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Teraz pomnóż każdy termin przez 225, aby anulować mianowniki.

#cancel (225) ^ 75xx ((x ^ 2 -2)) / cancel3 + anuluj (225) ^ 9 ((x ^ 2-1) ^ 2) / anuluj25 = anuluj (225) ^ 25xx7 / anuluj9 (x ^ 2-2) #

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 = 175 (x ^ 2-2) #

To jest wyraźnie kwadratowe, więc zrób to równe 0.

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 - 175 (x ^ 2-2) = 0 #

Zauważ, że pierwsze i trzecie wyrażenie są podobne do terminów, więc możemy je dodać razem. Również wyznaczyć średni termin.

# 9 (x ^ 4 - 2x ^ 2 +1) -100 (x ^ 2 -2) + = 0 #

Usuń nawiasy według prawa dystrybucyjnego:

# 9x ^ 4 - 18x ^ 2 +9 -100x ^ 2 + 200 = 0 #

Uproszczać: # 9x ^ 4 - 118x ^ 2 + 209 = 0 #

Badanie czynników 9 i 209 prowadzi do

9 = 3x3 lub 9x1 i 209 = 11 x 19

Kombinacja czynników, która dodaje 118, wynosi 99 + 19

Faktoring daje # (x ^ 2 - 11) (9x ^ 2- 19) = 0 #

Jeśli # x ^ 2 - 11 = 0 #

# x ^ 2 = 11 #

# x = + -sqrt11 #

Jeśli # 9x ^ 2- 19 = 0 #

# 9x ^ 2 = 19 #

# x ^ 2 = 19/9 #

# x = (+ -sqrt19) / 3 #