Jakie jest równanie paraboli z naciskiem na (5,3) i macierzą y = -12?

Odpowiedź:

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

Wyjaśnienie:

Definicja paraboli stwierdza, że wszystkie punkty na paraboli zawsze mają taką samą odległość do ogniska i matrycy.

Możemy pozwolić # P = (x, y) #, które będą reprezentować ogólny punkt na paraboli, możemy pozwolić # F = (5,3) # reprezentują fokus i # D = (x, -12) # reprezentują najbliższy punkt na Directrix, # x # jest tak, ponieważ najbliższy punkt na reżyserce jest zawsze prosty w dół.

Możemy teraz ustawić równanie z tymi punktami. Użyjemy wzoru odległości do obliczenia odległości:

# d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Możemy zastosować to do naszych punktów, aby najpierw uzyskać odległość między # P # i #FA#:

#d_ (PF) = sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) #

Potem ustalimy odległość między # P # i #RE#:

#d_ (PD) = sqrt ((x-x) ^ 2 + (y - (- 12)) ^ 2) #

Ponieważ odległości te muszą być sobie równe, możemy umieścić je w równaniu:

#sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) = sqrt ((y + 12) ^ 2) #

Od tego momentu # P # ma formę ogólną i może reprezentować dowolny punkt paraboli, jeśli tylko możemy rozwiązać # y # w równaniu pozostanie równanie, które da nam wszystkie punkty na paraboli, czyli innymi słowy, będzie równaniem paraboli.

Po pierwsze, obiema stronami:

# (sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

Możemy wtedy rozwinąć:

# x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 = y ^ 2 + 24y + 144 #

Jeśli umieścimy wszystko po lewej i zbieramy podobne warunki, otrzymamy:

# x ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30y = x ^ 2-10x-110 #

# y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

co jest równaniem naszej paraboli.