Rozwiąż dla xw RR równanie sqrt (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

Odpowiedź:

#x w 5, 10 #

Wyjaśnienie:

Pozwolić # u = x-1 #. Następnie możemy przepisać lewą stronę równania jako

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# = sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | #

Zwróć uwagę na obecność #sqrt (u) # w równaniu i że szukamy tylko rzeczywistych wartości, więc mamy ograniczenie #u> = 0 #. Dzięki temu rozważymy teraz wszystkie pozostałe przypadki:

Przypadek 1: # 0 <= u <= 4 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

A zatem # u = 4 # jest jedynym rozwiązaniem w interwale #0, 4#

Przypadek 2: # 4 <= u <= 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

Ponieważ jest to tautologia, każda wartość w #4, 9# to rozwiązanie.

Przypadek 3: #u> = 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

A zatem #u = 9 # jest jedynym rozwiązaniem w interwale # 9, oo) #

Razem wzięte #4, 9# jako zestaw rozwiązań dla rzeczywistych wartości # u #. Zastępując #x = u + 1 #, dochodzimy do ostatecznego zestawu rozwiązań #x w 5, 10 #

Patrząc na wykres z lewej strony, pasuje to do tego, czego moglibyśmy oczekiwać: