Używając definicji zbieżności, jak udowodnić, że sekwencja {2 ^ -n} zbiega się od n = 1 do nieskończoności?

$Używając definicji zbieżności, jak udowodnić, że sekwencja {2 ^ -n} zbiega się od n = 1 do nieskończoności?$

Odpowiedź:

Użyj właściwości funkcji wykładniczej do określenia N, takiego jak # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon # dla każdego # m, n> N #

Wyjaśnienie:

Definicja zbieżności stwierdza, że #{na}# zbiega się, jeśli:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Tak, biorąc pod uwagę #epsilon> 0 # brać #N> log_2 (1 / epsilon) # i # m, n> N # z #m <n #

Tak jak #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # więc # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (m-n)) #

Teraz jak # 2 ^ x # jest zawsze pozytywne # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #, więc

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

I jako # 2 ^ (- x) # ściśle się zmniejsza i #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) #

Ale:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

Więc:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

co było do okazania

Używając definicji zbieżności, jak udowodnić, że sekwencja {5+ (1 / n)} zbiega się od n = 1 do nieskończoności?

Niech: a_n = 5 + 1 / n następnie dla dowolnego m, n w NN z n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) jako n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n oraz jako 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Biorąc pod uwagę dowolną liczbę rzeczywistą epsilon> 0, wybierz liczbę całkowitą N> 1 / epsilon. Dla dowolnych liczb całkowitych m, n> N mamy: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, co dowodzi warunku Cauchy'ego dla zbieżności sekwencji.

Używając definicji zbieżności, jak udowodnić, że sekwencja lim 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 zbiega się?

Dając dowolną liczbę epsilon> 0 wybierz M> 1 / sqrt (6epsilon), z M w NN. Następnie, dla n> = M mamy: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6epsilon) = 1 / epsilon i tak: n> = M => 1 / (6n ^ 2 + 1) <epsilon, który potwierdza limit.

Jak wykorzystać test całkowy do określenia zbieżności lub dywergencji szeregu: suma n e ^ -n od n = 1 do nieskończoności?

Weźmy całkę int_1 ^ ooxe ^ -xdx, która jest skończona, i zauważmy, że ogranicza ona sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Dlatego jest zbieżny, więc sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) jest również. Formalne stwierdzenie testu całkowego stwierdza, że jeśli fin [0, oo) rightarrowRR monotonna funkcja malejąca, która jest nieujemna. Suma sum_ (n = 0) ^ oof (n) jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy „sup” _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx jest skończone. (Tau, Terence. Analiza I, wydanie drugie. Hindustan, agencja książki. 2009). To stwierdzenie może wydawać się nieco techniczne, ale idea jest następująca. Biorąc w tym przypadku