Używając definicji zbieżności, jak udowodnić, że sekwencja {5+ (1 / n)} zbiega się od n = 1 do nieskończoności?

Używając definicji zbieżności, jak udowodnić, że sekwencja {5+ (1 / n)} zbiega się od n = 1 do nieskończoności?
Anonim

Pozwolić:

#a_n = 5 + 1 / n #

potem dla każdego # m, n w NN # z #n> m #:

#abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) #

#abs (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) #

tak jak #n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #

i jako # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / m #.

Biorąc pod uwagę dowolną liczbę rzeczywistą #epsilon> 0 #, wybierz wtedy liczbę całkowitą #N> 1 / epsilon #.

Dla dowolnych liczb całkowitych # m, n> N # mamy:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

co dowodzi warunku Cauchy'ego dla zbieżności sekwencji.