Jak wykorzystać test całkowy do określenia zbieżności lub dywergencji szeregu: suma n e ^ -n od n = 1 do nieskończoności?

Odpowiedź:

Weź całkę # int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, który jest skończony, i zauważ, że się ogranicza #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. Dlatego jest zbieżny #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # jest również.

Wyjaśnienie:

Formalne stwierdzenie testu integralnego stwierdza, że jeśli #fin 0, oo) rightarrowRR # monotonna funkcja zmniejszania, która jest nieujemna. Potem suma #sum_ (n = 0) ^ oof (n) # jest zbieżny, jeśli i tylko wtedy # "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx # jest skończone. (Tau, Terence. Analiza I, wydanie drugie. Hindustan, agencja książki. 2009).

To stwierdzenie może wydawać się nieco techniczne, ale idea jest następująca. W tym przypadku funkcja #f (x) = xe ^ (- x) #, zauważamy to dla #x> 1 #, ta funkcja maleje. Widzimy to, biorąc pochodną. #f '(x) = e ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, od #x> 1 #, więc # (1-x) <0 # i #e ^ (- x)> 0 #.

Z tego powodu zauważamy to dla każdego #ninNN _ (> = 2) # i #x w 1, oo) # takie #x <= n # mamy #f (x)> = f (n) #. W związku z tym #int_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) #, więc #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + sum_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) dx = f (1) + int_1 ^ Nf (x) dx #.

# int_1 ^ oof (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - xe ^ (- x) | _1 ^ oo + int_1 ^ ooe ^ (-x) dx ## = - xe ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # za pomocą integracji przez części i to #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) xe ^ -x = 0 #.

Od #f (x)> = 0 #, mamy # e / 2 = int_1 ^ oof (x) dx> = int_1 ^ Nf (x) dx #, więc #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #. Od #f (n)> = 0 #, Serie #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # wzrasta jak # N # wzrasta. Ponieważ jest ograniczony przez # 3 / e #, musi się zbiegać. W związku z tym #sum_ (n = 1) ^ oof (n) # zbiega się.

Używając definicji zbieżności, jak udowodnić, że sekwencja {5+ (1 / n)} zbiega się od n = 1 do nieskończoności?

Niech: a_n = 5 + 1 / n następnie dla dowolnego m, n w NN z n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) jako n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n oraz jako 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Biorąc pod uwagę dowolną liczbę rzeczywistą epsilon> 0, wybierz liczbę całkowitą N> 1 / epsilon. Dla dowolnych liczb całkowitych m, n> N mamy: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, co dowodzi warunku Cauchy'ego dla zbieżności sekwencji.

Używając definicji zbieżności, jak udowodnić, że sekwencja {2 ^ -n} zbiega się od n = 1 do nieskończoności?

Użyj właściwości funkcji wykładniczej do określenia N, takiego jak | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon dla każdego m, n> N Definicja zbieżności stwierdza, że {a_n} zbiega się, jeśli: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Więc, jeśli podano epsilon> 0 weź N> log_2 (1 / epsilon) i m, n> N z m <n Jako m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 więc | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Teraz jako 2 ^ x jest zawsze dodatni, (1- 2 ^ (mn)) <1, więc 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) A ponieważ 2 ^ (- x) ś

Określić, które z poniższych zmian musi się zmienić, gdy wysokość będzie wyższa: amplituda lub częstotliwość lub długość fali lub intensywność lub prędkość fal dźwiękowych?

Zmieni się zarówno częstotliwość, jak i długość fali. Dostrzegamy wzrost częstotliwości jako zwiększonego skoku, który opisałeś. Gdy częstotliwość (wysokość) wzrasta, długość fali staje się krótsza zgodnie z uniwersalnym równaniem fali (v = f lambda). Prędkość fali nie zmieni się, ponieważ zależy ona tylko od właściwości ośrodka, przez który porusza się fala (np. Temperatura lub ciśnienie powietrza, gęstość ciała stałego, zasolenie wody, ...) Amplituda, lub intensywność fali jest odbierana przez nasze uszy jako głośność (myśl „wzmacniacz”). Chociaż amplituda fali nie zwiększa się wraz ze skokiem, p