Jaka jest definicja dowodu współrzędnych? A jaki jest przykład?

Odpowiedź:

Zobacz poniżej

Wyjaśnienie:

Dowód współrzędnych jest algebraicznym dowodem twierdzenia geometrycznego. Innymi słowy, używamy liczb (współrzędnych) zamiast punktów i linii.

W niektórych przypadkach udowodnienie twierdzenia algebraicznie, za pomocą współrzędnych, jest łatwiejsze niż wymyślenie dowodu logicznego za pomocą twierdzeń o geometrii.

Na przykład udowodnijmy, że za pomocą metody współrzędnych twierdzenie Midline stwierdza:

Punkty środkowe boków dowolnego czworoboku tworzą równoległobok.

Niech cztery punkty #A (x_A, y_A) #, #B (x_B, y_B) #, #C (x_C, y_C) # i #D (x_D, y_D) # są wierzchołkami dowolnego czworokąta o współrzędnych podanych w nawiasach.

Punkt środkowy # P # z # AB # ma współrzędne

# (x_P = (x_A + x_B) / 2, y_P = (y_A + y_B) / 2) #

Punkt środkowy # P # z #OGŁOSZENIE# ma współrzędne

# (x_Q = (x_A + x_D) / 2, y_Q = (y_A + y_D) / 2) #

Punkt środkowy # R # z # CB # ma współrzędne

# (x_R = (x_C + x_B) / 2, y_R = (y_C + y_B) / 2) #

Punkt środkowy # S # z #PŁYTA CD# ma współrzędne

# (x_S = (x_C + x_D) / 2, y_S = (y_C + y_D) / 2) #

Udowodnijmy to # PQ # jest równoległy do # RS #. W tym celu obliczmy nachylenie obu i porównajmy je.

# PQ # ma nachylenie

# (y_Q-y_P) / (x_Q-x_P) = (y_A + y_D-y_A-y_B) / (x_A + x_D-x_A-x_B) = #

# = (y_D-y_B) / (x_D-x_B) #

# RS # ma nachylenie

# (y_S-y_R) / (x_S-x_R) = (y_C + y_D-y_C-y_B) / (x_C + x_D-x_C-x_B) = #

# = (y_D-y_B) / (x_D-x_B) #

Jak widzimy, zbocza # PQ # i # RS # są takie same.

Analogicznie, zbocza # PR # i # QS # są takie same.

Udowodniliśmy więc, że przeciwne strony czworoboku # PQRS # są do siebie równoległe. Jest to wystarczający warunek, aby obiekt ten był równoległobokiem.