# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3) ^ 2-2 (x ^ 3) + 1 # jest w formie # y ^ 2-2y + 1 # gdzie #y = x ^ 3 #.
Ta kwadratowa formuła # y # czynniki w następujący sposób:
# y ^ 2-2y + 1 = (y-1) (y-1) = (y - 1) ^ 2 #
Więc # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3 - 1) ^ 2 #
# x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
Więc # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
# = (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #.
# x ^ 2 + x + 1 # nie ma liniowych współczynników o rzeczywistych współczynnikach. Aby sprawdzić to powiadomienie, jest to formularz # ax ^ 2 + bx + c #, który ma wyróżnik:
#Delta = b ^ 2 - 4ac = 1 ^ 2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 #
Będąc negatywnym, równanie # x ^ 2 + x + 1 = 0 # nie ma prawdziwych korzeni.
Jednym ze sposobów sprawdzenia odpowiedzi jest zastąpienie wartości # x # to nie jest korzeń po obu stronach i zobaczymy, czy otrzymamy taki sam wynik:
Próbować # x = 2 #:
# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = 2 ^ 6-2x ^ 3 + 1 #
# = 64- (2xx8) +1 = 64-16 + 1 = 49 #
Porównać:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 = (2-1) ^ 2 (2 ^ 2 + 2 + 1) ^ 2 #
#1^2*7^2=49#
Cóż, to zadziałało!
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # jest dość łatwy do uwzględnienia, ponieważ jest to idealny kwadrat. Skąd mam to wiedzieć? To trójmian w formie # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #, a wszystkie trójmiani w tej formie są doskonałymi kwadratami.
Ten trójmian jest idealnym kwadratem # (x ^ 3 - 1) #. Aby sprawdzić moją pracę, będę pracował wstecz:
# (x ^ 3 - 1) (x ^ 3 - 1) #
# = x ^ 6 - x ^ 3 - x ^ 3 + 1 #
# = x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Więc ten trójmian ma czynniki #1#, # x ^ 3 - 1 #, i # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #.
Jednak, jak mi wskazano, # (x ^ 3 - 1) # ma również czynniki. Ponieważ jest to dwumian formy # a ^ 3 - b ^ 3 #, może być również napisane jako # (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) #.
Więc, # (x ^ 3 - 1) # czynniki # (x - 1) # i # (x ^ 2 + x + 1) #, które są pierwsze.
Czynniki # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # są:
#1#
# x-1 #
# x ^ 2 + x + 1 #
# x ^ 3 - 1 #
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Dokładniej, faktoryzacja PRIME # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # jest:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #
