Funkcja f (x) = sin (3x) + cos (3x) jest wynikiem serii transformacji, z których pierwsza jest poziomym przesunięciem funkcji sin (x). Które z nich opisuje pierwszą transformację?

Odpowiedź:

Możemy uzyskać wykres # y = f (x) # z # ysinx # stosując następujące przekształcenia:

• tłumaczenie poziome # pi / 12 # radiany w lewo

• ciąg dalszy #Wół# ze współczynnikiem skali wynoszącym #1/3# jednostki

• ciąg dalszy # Oy # ze współczynnikiem skali wynoszącym #sqrt (2) # jednostki

Wyjaśnienie:

Rozważ funkcję:

# f (x) = sin (3x) + cos (3x) #

Przypuśćmy, że możemy napisać tę liniową kombinację sinusów i cosinusów jako funkcję sinusową z przesunięciem jednofazowym, przypuszczalnie mamy:

# f (x) - = Asin (3x + alfa) #

# = A {sin3xcosalpha + cos3xsinalpha} #

# - Acosalpha sin3x + Asinalphacos3x #

W takim przypadku przez porównanie współczynników # sin3x # i # cos3x # mamy:

# Acos alfa = 1 i #Inalinal = 1 #

W kwadracie i dodając mamy:

# A ^ 2cos ^ 2 alfa + A ^ 2sin ^ 2 alfa = 2 => A ^ 2 = 2 => A = sqrt (2) #

Dzieląc mamy:

# tan alpha => alpha = pi / 4 #

W ten sposób możemy pisać, #f (x) # w formie:

# f (x) - = sin (3x) + cos (3x) #

# = sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #

# = sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) #

Możemy więc uzyskać wykres # y = f (x) # z # ysinx # stosując następujące przekształcenia:

• tłumaczenie poziome # pi / 12 # radiany w lewo
• ciąg dalszy #Wół# ze współczynnikiem skali wynoszącym #1/3# jednostki
• ciąg dalszy # Oy # ze współczynnikiem skali wynoszącym #sqrt (2) # jednostki

Które możemy zobaczyć graficznie:

Wykres # y = sinx #:

wykres {sinx -10, 10, -2, 2}

Wykres # y = sin (x + pi / 12) #:

wykres {sin (x + pi / 12) -10, 10, -2, 2}

Wykres # y = grzech (3 (x + pi / 12)) = grzech (3x + pi / 4) #:

wykres {sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

Wykres # y = sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) = sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #:

graph {sqrt (2) sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

I wreszcie wykres oryginalnej funkcji do porównania:

wykres {sin (3x) + cos (3x) -10, 10, -2, 2}