X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ................ (czynnik)?

Odpowiedź:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

# (x ^ 2- (alfa + bar (alfa)) x + 2) (x ^ 2- (omegaalpha + omega ^ 2bar (alfa)) x + 2) (x ^ 2- (omega ^ 2 alfa + omegabar (alfa)) x + 2) #

tak, jak opisano poniżej…

Wyjaśnienie:

Ostrzeżenie:

Ta odpowiedź może być bardziej zaawansowana, niż się spodziewasz.

Uwagi

Możliwe jest uproszczenie i znalezienie:

# alpha + bar (alfa) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# omegaalpha + omega ^ 2bar (alfa) = 1/2 (1-sqrt (21)) #

# omega ^ 2 alfa + omegabar (alfa) = -1 #

ale nie jest (jeszcze) jasne, jak najlepiej to zrobić.

Odpowiedź:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Wyjaśnienie:

Oto prostsza metoda …

Dany:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

Poszukaj faktoryzacji formularza:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + alphax + 2) (x ^ 2 + betax + 2) (x ^ 2 + gammax + 2) #

# = x ^ 6 + (alfa + beta + gamma) x ^ 5 + (alfabeta + betagamma + gammaalpha + 6) x ^ 4 + (2 (alfa + beta + gamma) + alfagamma) x ^ 3 + (2 (alfabeta + betagamma + gammaalpha) +12) x ^ 2 + 4 (alfa + beta + gamma) x + 8 #

Zrównując współczynniki, które znaleźliśmy:

# {(alfa + beta + gamma = 0), (alfabeta + betagamma + gammaalpha = -6), (alphabetagamma = -5):} #

Więc #alfa, beta, gamma # są zerami sześciennej:

# (x-alfa) (x-beta) (x-gamma) #

# = x ^ 3- (alfa + beta + gamma) x ^ 2 + (alfabeta + betagamma + gammaalpha) x-alfabetagamma #

# = x ^ 3-6x + 5 #

Zauważ, że suma współczynników tego sześciennego jest #0#. To jest #1-6+5 = 0#.

Stąd # x = 1 # jest zero i # (x-1) # czynnik:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

Zera pozostałych kwadratów można znaleźć używając wzoru kwadratowego jako:

#x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 (1) (- 5))) / (2 (1)) = 1/2 (-1 + -sqrt (21)) #

Więc # {alpha, beta, gamma} = {1, -1 / 2 + sqrt (21) / 2, -1 / 2-sqrt (21) / 2} #

Więc:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Premia

Czy możemy uogólnić powyższe wyliczenie?

# x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 #

# = (x ^ 2 + alphax + q) (x ^ 2 + betax + q) (x ^ 2 + gammax + q) #

# = x ^ 6 + (alfa + beta + gamma) x ^ 5 + (alfabeta + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 4 + (q (alfa + beta + gamma) + alfagagma) x ^ 3 + q (alfabeta + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 2 + q ^ 2 (alfa + beta + gamma) x + q ^ 3 #

Równanie współczynników:

# {(alfa + beta + gamma = 0), (alfabeta + betagamma + gammaalpha = -3q), (alphabetagamma = p):} #

Stąd #alfa, beta, gamma # są zerami:

# x ^ 3-3qx-p #

Jeśli więc możemy znaleźć trzy prawdziwe zera tego sześciennego, to mamy rozkład czynnikowy seksu # x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 # na trzy kwadraty o rzeczywistych współczynnikach.