Co to jest int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx?

Odpowiedź:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

Wyjaśnienie:

To wyjaśnienie jest trochę długie, ale nie mogłem znaleźć szybszego sposobu na zrobienie tego …

Całka jest aplikacją liniową, więc można już podzielić funkcję pod znakiem całki.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

Dwa pierwsze terminy to funkcje wielomianowe, dzięki czemu są łatwe do integracji. Pokażę ci, jak to zrobić # x ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # więc # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #. Robisz dokładnie to samo # x ^ 3 #, wynik to #255/4#.

Odkrycie #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx # jest trochę długi i skomplikowany. Najpierw pomnóż ułamek przez #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # a następnie zmieniasz zmienną: powiedzmy #u = sqrt (x-1) #. Więc # du = 1 / (2sqrt (x-1)) dx # a teraz musisz znaleźć # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #. Aby go znaleźć, potrzebna jest dekompozycja częściowej frakcji funkcji wymiernej # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 + 1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # z # a, b, c, d w RR #. Po rachunku dowiadujemy się o tym # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 + 1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, co oznacza że # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2) #

#int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2 # jest dobrze znany #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

Wreszcie, # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (arctan (u) - arctan (u) / 2 - u / (2 (1 + u ^ 2))) = arctan (u) - u / (1 + u ^ 2) #

Zastępujesz # u # według oryginalnego wyrażenia z # x # mieć #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx #, który jest #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

Więc w końcu # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #