Dwa rogi trójkąta równoramiennego znajdują się na (8, 3) i (5, 4). Jeśli pole trójkąta wynosi 4, jakie są długości boków trójkąta?

Odpowiedź:

Długość boków #sqrt 10, sqrt 10, sqrt 8 # a punkty są # (8,3), (5,4) i (6,1) #

Wyjaśnienie:

Niech będą punkty trójkąta # (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3). #

Obszar trójkąta to A = # ((x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2)) / 2) #

Dany # A = 4, (x_1, y_1) = (8,3), (x_2, y_2) = (5,4) #

Zastępując mamy poniższe równanie obszarowe:

# ((8 (4 - y_3) + 5 (y_3 - 3) + x_3 (3 - 4)) / 2) = 4 #

# ((8 (4 - y_3) + 5 (y_3 - 3) + x_3 (3 - 4)) = 8 #

# (32 - 8y_3) + (5y_3 - 15) + (-1x_3) = 8 #

# 17 - 3y_3 -x_3 = 8 #

# - 3y_3 -x_3 = (8-17) #

# - 3y_3 -x_3 = -9 #

# 3y_3 + x_3 = 9 # ----> Równanie 1

Odległość między punktami #(8,3), (5,4)# za pomocą wzoru odległości jest

#sqrt ((8-5) ^ 2 + (3-4) ^ 2) # = #sqrt (3 ^ 2 + (- 1) ^ 2) # = #sqrt 10 #

Odległość między punktami # (x_3, y_3), (5,4) # za pomocą wzoru odległości jest

#sqrt ((x_3 -5) ^ 2 + (y_3 - 4) ^ 2) # = #sqrt 10 #

Obracanie obu stron i ograniczanie # x_3 = 9 - 3y_3 # z równania 1 otrzymujemy równanie kwadratowe.

# (9-3y_3 - 5) ^ 2 + (y_3 - 4) ^ 2 = 0 #

# (4-3y_3) ^ 2 + (y_3 - 4) ^ 2 = 0 #

Faktoryzując to, dostajemy # (y-1) (10y-22) = 0 #

y = 1 lub y = 2,2. y = 2,2 można odrzucić. Stąd trzeci punkt musi być (6,1).

Obliczając odległości dla punktów # (8,3), (5,4) i (6,1) #, dostajemy # sqrt 8 # na długość podstawy.