Niech będzie N najmniejszą liczbą całkowitą z 378 dzielnikami. Jeśli N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, jaka jest wartość {a, b, c, d} w NN?

$Niech będzie N najmniejszą liczbą całkowitą z 378 dzielnikami. Jeśli N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, jaka jest wartość {a, b, c, d} w NN?$

Odpowiedź:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #

Wyjaśnienie:

Podano numer # n # z podstawową faktoryzacją #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #, każdy dzielnik # n # jest w formie # p_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # gdzie #beta_i w {0, 1, …, alpha_i} #. Ponieważ istnieją # alpha_i + 1 # wybory dla każdego # beta_i #, liczba dzielników # n # jest dany przez

# (alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ k (alpha_i + 1) #

Tak jak # N = 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #, liczba dzielników # N # jest dany przez # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #. Dlatego naszym celem jest znalezienie # (a, b, c, d) # taki, że powyższy produkt trzyma i # 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d # jest minimalny. W miarę jak minimalizujemy, zakładamy od tego momentu, że #a> = b> = c> = d # (gdyby tak nie było, moglibyśmy zamienić wykładniki, aby uzyskać mniejszy wynik z taką samą liczbą dzielników).

Zauważając to # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #, możemy rozważyć możliwe przypadki, w których #378# jest napisany jako iloczyn czterech liczb całkowitych # k_1, k_2, k_3, k_4 #. Możemy je sprawdzić, aby zobaczyć, który daje najmniejszy wynik # N #.

Format: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3.3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1.7xx10 ^ 9 #

#color (czerwony) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9.0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2,4xx10 ^ 9 #

Możemy się tu zatrzymać, ponieważ wszystkie dalsze przypadki będą miały pewne #k_i> = 27 #, dawanie # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #, która jest już większa niż nasza najlepsza sprawa.

W związku z powyższą pracą # (a, b, c, d) # co daje minimalny # N # z #378# dzielniki to # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #, dawanie #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #

Jaka jest liczba rzeczywista, liczba całkowita, liczba całkowita, liczba wymierna i liczba niewymierna?

Wyjaśnienie Poniżej Liczby wymierne występują w 3 różnych formach; liczby całkowite, ułamki i kończące lub powtarzające się dziesiętne, takie jak 1/3. Liczby irracjonalne są dość „bałaganiarskie”. Nie mogą być zapisywane jako ułamki, są niekończące się, nie powtarzające się dziesiętne. Przykładem tego jest wartość π. Liczbę całkowitą można nazwać liczbą całkowitą i jest liczbą dodatnią lub ujemną albo zerem. Przykładem tego jest 0, 1 i -365.

Czy liczba rzeczywista sqrt21, liczba wymierna, liczba całkowita, liczba całkowita, liczba irracyjna?

Jest to liczba irracjonalna, a zatem prawdziwa. Najpierw udowodnijmy, że sqrt (21) jest liczbą rzeczywistą, w rzeczywistości pierwiastek kwadratowy wszystkich pozytywnych liczb rzeczywistych jest rzeczywisty. Jeśli x jest liczbą rzeczywistą, to definiujemy dla liczb dodatnich sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x}. Oznacza to, że patrzymy na wszystkie rzeczywiste liczby y takie, że y ^ 2 <= x i przyjmujemy najmniejszą liczbę rzeczywistą, która jest większa niż wszystkie te y, tzw. Supremum. W przypadku liczb ujemnych te y nie istnieją, ponieważ dla wszystkich liczb rzeczywistych przyjmowanie kwadratu tej

Gdy weźmiesz moją wartość i pomnożysz ją przez -8, wynikiem jest liczba całkowita większa niż -220. Jeśli weźmiesz wynik i podzielisz go sumą -10 i 2, wynik będzie moją wartością. Jestem liczbą racjonalną. Jaki jest mój numer?

Twoja wartość to dowolna liczba wymierna większa niż 27,5 lub 55/2. Możemy modelować te dwa wymagania z nierównością i równaniem. Niech x będzie naszą wartością. -8x> -220 (-8x) / (-10 + 2) = x Najpierw spróbujemy znaleźć wartość xw drugim równaniu. (-8x) / (-10 + 2) = x (-8x) / - 8 = x x = x Oznacza to, że niezależnie od początkowej wartości x, drugie równanie zawsze będzie prawdziwe. Teraz, aby obliczyć nierówność: -8x> -220 x <27,5 Wartość x to dowolna liczba wymierna większa niż 27,5 lub 55/2.