Czym jest ukryta pochodna 4 = (x + y) ^ 2?

Odpowiedź:

Możesz użyć rachunku różniczkowego i spędzić kilka minut na tym problemie lub możesz użyć algebry i spędzić kilka sekund, ale tak czy inaczej dostaniesz # dy / dx = -1 #.

Wyjaśnienie:

Zacznij od przyjęcia pochodnej względem obu stron:

# d / dx (4) = d / dx (x + y) ^ 2 #

Po lewej stronie mamy pochodną stałej - która jest po prostu #0#. To rozwiązuje problem do:

# 0 = d / dx (x + y) ^ 2 #

Oceniać # d / dx (x + y) ^ 2 #, musimy użyć reguły mocy i reguły łańcucha:

# d / dx (x + y) ^ 2 = (x + y) '* 2 (x + y) ^ (2-1) #

Uwaga: mnożymy przez # (x + y) '# ponieważ reguła łańcucha mówi nam, że musimy pomnożyć pochodną całej funkcji (w tym przypadku # (x + y) ^ 2 # przez funkcję wewnętrzną (w tym przypadku # (x + y) #).

# d / dx (x + y) ^ 2 = (x + y) '* 2 (x + y) #

Co się tyczy # (x + y) '#, zauważ, że możemy użyć reguły sum, aby ją rozbić # x '+ y' #. # x '# jest po prostu #1#i dlatego, że tak naprawdę nie wiemy co # y # jest, musimy wyjść # y '# tak jak # dy / dx #:

# d / dx (x + y) ^ 2 = (1 + dy / dx) (2 (x + y)) #

Teraz, gdy znaleźliśmy naszą pochodną, problem polega na:

# 0 = (1 + dy / dx) (2 (x + y)) #

Wykonywanie algebry w celu izolacji # dy / dx #, widzimy:

# 0 = (1 + dy / dx) (2x + 2y) #

# 0 = 2x + dy / dx2x + dy / dx2y + 2y #

# 0 = x + dy / dxx + dy / dxy + y #

# -x-y = dy / dxx + dy / dxy #

# -x-y = dy / dx (x + y) #

# dy / dx = (- x-y) / (x + y) #

Co ciekawe, jest to równe #-1# dla wszystkich # x # i # y # (z wyjątkiem kiedy # x = -y #). W związku z tym, # dy / dx = -1 #. Moglibyśmy to odkryć bez użycia rachunku różniczkowego! Spójrz na równanie # 4 = (x + y) ^ 2 #. Weź pierwiastek kwadratowy z obu stron # + - 2 = x + y #. Teraz odejmij # x # z obu stron i mamy #y = + - 2-x #. Pamiętasz to z algebry? Nachylenie tej linii jest #-1#, a ponieważ pochodna jest nachyleniem, moglibyśmy właśnie powiedzieć # dy / dx = -1 # i uniknąłem całej tej pracy.