Jak rozwiązać ^ 2-sqrt (3) a + 1 = 0?

# (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 = (a-sqrt (3) / 2) (a-sqrt (3) / 2) #

# = a ^ 2- (sqrt (3) / 2 + sqrt (3) / 2) a + (sqrt (3) / 2) (sqrt (3) / 2) #

# = a ^ 2-sqrt (3) a + 3/4 #

Więc mamy:

# 0 = a ^ 2-sqrt (3) a + 1 = a ^ 2-sqrt (3) a + 3/4 + 1/4 #

# = (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1/4 #

Odejmując 1/4 z obu stron, otrzymujemy:

# (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 = -1 / 4 #

Nie ma rozwiązań liczb rzeczywistych, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Jeśli chcesz kompleksowych rozwiązań, # a-sqrt (3) / 2 = + -sqrt (-1/4) = + -i / 2 #

Dodawanie #sqrt (3/2) # po obu stronach

#a = sqrt (3) / 2 + - i / 2 #.

Zaczęłbym stosować formułę do rozwiązywania równań kwadratowych (w rzeczywistości jest to równanie kwadratowe w „a”):

#a = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) => a = (sqrt3 + -sqrt ((sqrt3) ^ 2-4 · 1 · 1)) / (2 · 1) => a = (sqrt3 + -sqrt (3-4)) / 2 => a = (sqrt3 + -sqrt (-1)) / 2 #

Jak widać, równanie nie ma rzeczywistego rozwiązania, ponieważ ma pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej (#sqrt (-1) #).

• Jeśli więc pracujesz z liczbami rzeczywistymi, odpowiedź brzmi: nie ma #a w RR # który robi # a ^ 2-sqrt3a + 1 = 0 #.

• Ale jeśli pracujesz z liczbami złożonymi, są dwa rozwiązania:

  # a_1 = (sqrt3 + i) / 2 # i # a_2 = (sqrt3-i) / 2 #.