Jaka jest pochodna y = sec ^ 2 (x) + tan ^ 2 (x)?

Pochodna # y = sec ^ 2x + tan ^ 2x # jest:

# 4sec ^ 2xtanx #

Proces:

Ponieważ pochodna sumy jest równa sumie pochodnych, możemy po prostu wyprowadzić # sec ^ 2x # i # tan ^ 2x # oddzielnie i dodaj je razem.

Dla pochodnej # sec ^ 2x #, musimy zastosować regułę łańcuchową:

#F (x) = f (g (x)) #

#F '(x) = f' (g (x)) g '(x) #,

z funkcją zewnętrzną # x ^ 2 #i wewnętrzną funkcją # secx #. Teraz znajdujemy pochodną funkcji zewnętrznej, zachowując tę samą funkcję wewnętrzną, a następnie mnożąc ją przez pochodną funkcji wewnętrznej. To daje nam:

#f (x) = x ^ 2 #

#f '(x) = 2x #

#g (x) = secx #

#g '(x) = secxtanx #

Podłączając je do naszej formuły Chain Rule, mamy:

#F '(x) = f' (g (x)) g '(x) #,

#F '(x) = 2 (secx) secxtanx = 2sec ^ 2xtanx #

Teraz wykonujemy ten sam proces dla # tan ^ 2x # termin, zastępowanie # secx # z # tanx #, kończąc na:

#f (x) = x ^ 2 #

#f '(x) = 2x #

#g (x) = tanx #

#g '(x) = sec ^ 2x #

#F '(x) = f' (g (x)) g '(x) #,

#F '(x) = 2 (tanx) sec ^ 2x = 2 sekundy ^ 2xtanx #

Łącząc te terminy razem, mamy ostateczną odpowiedź:

# 2sec ^ 2xtanx + 2sec ^ 2xtanx #

= # 4sec ^ 2xtanx #