Jakie jest znaczenie frazy odwracalnej macierzy?

Krótka odpowiedź brzmi, że w układzie równań liniowych, jeśli macierz współczynników jest odwracalna, twoje rozwiązanie jest unikalne, to znaczy masz jedno rozwiązanie.

Istnieje wiele właściwości odwracalnej macierzy do wylistowania tutaj, więc powinieneś przyjrzeć się twierdzeniu odwracalnej macierzy. Aby macierz była odwracalna, musi być plac to znaczy ma taką samą liczbę wierszy jak kolumny.

Ogólnie rzecz biorąc, ważniejsze jest, aby wiedzieć, że macierz jest odwracalna, a nie faktycznie produkować odwracalną macierz, ponieważ obliczenie odwracalnej macierzy jest bardziej kosztowne niż po prostu rozwiązanie systemu. Obliczyłbyś macierz odwrotną, gdybyś rozwiązywał wiele rozwiązań.

Załóżmy, że masz ten układ równań liniowych:

# 2x + 1.25y = b_1 #

# 2.5x + 1.5y = b_2 #

i musisz rozwiązać # (x, y) # dla par stałych: #(119.75, 148), (76.5, 94.5), (152.75, 188.5)#. Wygląda na dużo pracy! W formie macierzy ten system wygląda następująco:

# Ax = b #

gdzie #ZA# to macierz współczynników, # x # jest wektorem # (x, y) # i #b# jest wektorem # (b_1, b_2) #. Możemy rozwiązać dla # x # z pewną algebrą macierzową:

# x = A ^ (- 1) b #

gdzie #A ^ (- 1) # jest macierzą odwrotną. Istnieją różne sposoby obliczania macierzy odwrotnej, więc nie będę się tym teraz zajmował.

#A ^ (- 1) = #

#-12, 10#

#20, -16#

Aby uzyskać rozwiązania, mamy:

# -12 * 119,75 + 10 * 148 = 43 = x_1 #

# 20 * 119.75-16 * 148 = 27 = y_1 #

# -12 * 76,5 + 10 * 94,5 = 27 = x_2 #

# 20 * 76,5-16 * 94,5 = 18 = y_2 #

# -12 * 152,75 + 10 * 188,5 = 52 = x_3 #

# 20 * 152,75-16 * 188,5 = 39 = y_3 #

Czy to nie jest łatwiejsze niż rozwiązanie 3 systemów?