Jak znaleźć wyznacznik ((1, 4, -2), (3, -1, 5), (7, 0, 2))?

Odpowiedź:

100

Wyjaśnienie:

Pozwolić #A = a_ (ij) # fasola # nxxn # macierz z wpisami z pola F. Po znalezieniu wyznacznika A jest kilka rzeczy, które musimy zrobić. Najpierw przypisz każdej pozycji znak z macierzy znaków. Mój wykładowca algebry liniowej nazwał ją „szachownicą znakową”, która utkwiła we mnie.

# ((+, -, +, …), (-, +, -, …), (+, -, +, …), (vdots, vdots, vdots, ddots)) #

Oznacza to, że znak związany z każdym wpisem jest podany przez # (- 1) ^ (i + j) # gdzie #ja# jest wierszem elementu i #jot# jest kolumna.

Następnie definiujemy kofaktor wpisu jako iloczyn wyznacznika # (n-1) xx (n-1) # macierz, którą uzyskujemy, usuwając wiersz i kolumnę zawierającą ten wpis oraz znak tego wpisu.

Następnie uzyskujemy wyznacznik, mnożąc każdy wpis w górnym wierszu (lub kolumnie) przez jego kofaktor i sumując te wyniki.

Teraz, gdy teoria jest na dobrej drodze, zróbmy problem.

#A = ((1,4, -2), (3, -1,5), (7,0,2)) #

Znak związany z #a_ (11) # jest +, z #a_ (12) # jest - iz #a_ (13) # jest +

Uzyskujemy to

#det (A) = kolor (czerwony) (1) kolor (niebieski) ((- 1,5), (0,2)) + kolor (czerwony) (4) kolor (niebieski) ((- 1) (3,5), (7,2) + kolor (czerwony) ((- 2)) kolor (niebieski) ((3, -1), (7,0)) #

Gdzie czerwony oznacza wpisy z górnego rzędu, a niebieski jest ich odpowiednim kofaktorem.

Stosując tę samą metodę widzimy, że wyznacznik a # 2xx2 # matryca

#det ((a, b), (c, d)) = ad-bc #

Stąd:

#det (A) = kolor (czerwony) (1) kolor (niebieski) (((- 1) * 2 - 5 * 0)) kolor (czerwony) (- 4) kolor (niebieski) ((3 * 2-5 * 7)) kolor (czerwony) (- 2) kolor (niebieski) ((3 * 0 - (-1) * 7)) #

#det (A) = -2 + 116 - 14 = 100 #

Niech [(x_ (11), x_ (12)), (x_21, x_22)] zostanie zdefiniowane jako obiekt zwany macierzą. Wyznacznik macierzy jest zdefiniowany jako [(x_ (11) xxx_ (22)) - (x_21, x_12)]. Jeśli M [(- 1,2), (-3, -5)] i N = [(- 6,4), (2, -4)] jaki jest wyznacznik M + N i MxxN?

Wyznacznikiem jest M + N = 69, a MXN = 200ko Trzeba także zdefiniować sumę i iloczyn macierzy. Zakłada się jednak, że są one tak samo zdefiniowane w podręcznikach do matrycy 2xx2. M + N = [(- 1,2), (- 3, -5)] + [(- 6,4), (2, -4)] = [(- 7,6), (- 1, - 9)] Stąd jego wyznacznikiem jest (-7xx-9) - (- 1xx6) = 63 + 6 = 69 MXN = [(((1) xx (-6) + 2xx2), ((- 1) xx4 + 2xx (-4))), (((- 1) xx2 + (- 3) xx (-4)), ((- 3) xx4 + (- 5) xx (-4)))] = [(10, -12) ), (10,8)] Stąd deeminant MXN = (10xx8 - (- 12) xx10) = 200

Co oznacza wyznacznik macierzy?

Zakładając, że mamy macierz kwadratową, wyznacznikiem macierzy jest wyznacznik z tymi samymi elementami. Np. Jeśli mamy macierz 2xx2: bb (A) = ((a, b), (c, d)) Powiązana wyznacznik podany przez D = | bb (A) | = | (a, b), (c, d) | = ad-bc

Jaki jest wyznacznik macierzy do mocy?

Det (A ^ n) = det (A) ^ n Bardzo ważną właściwością wyznacznika macierzy jest to, że jest to tak zwana funkcja multiplikatywna. Mapuje macierz liczb na liczbę w taki sposób, że dla dwóch macierzy A, B, det (AB) = det (A) det (B). Oznacza to, że dla dwóch macierzy, det (A ^ 2) = det (AA) = det (A) det (A) = det (A) ^ 2, a dla trzech macierzy, det (A ^ 3) = det (A ^ 2A) = det (A ^ 2) det (A) = det (A) ^ 2det (A) = det (A) ^ 3 i tak dalej. Dlatego ogólnie det (A ^ n) = det (A) ^ n dla dowolnego ninNN.