Jaka jest domena i zakres (2/3) ^ x - 9?

Odpowiedź:

Domena: # (- oo, oo) #

Zasięg: # (- 9, oo) #

Wyjaśnienie:

Najpierw zauważ to # (2/3) ^ x-9 # jest dobrze zdefiniowany dla każdej wartości rzeczywistej # x #. Więc domena jest cała # RR #, tj. # (- oo, oo) #

Od #0 < 2/3 < 1#, funkcja # (2/3) ^ x # jest wykładniczo malejącą funkcją, która przyjmuje duże wartości dodatnie, gdy # x # jest duży i negatywny i jest asymptotyczny #0# dla dużych wartości dodatnich # x #.

W notacji limitu możemy napisać:

#lim_ (x -> - oo) (2/3) ^ x = -oo #

#lim_ (x-> oo) (2/3) ^ x = 0 #

# (2/3) ^ x # jest ciągły i ściśle monotoniczny, więc jego zasięg jest # (0, oo) #.

Odejmować #9# aby znaleźć zakres # (2/3) ^ x # jest # (- 9, oo) #.

Pozwolić:

#y = (2/3) ^ x-9 #

Następnie:

# y + 9 = (2/3) ^ x #

Jeśli #y> -9 # wtedy możemy wziąć logi obu stron, aby znaleźć:

#log (y + 9) = log ((2/3) ^ x) = x log (2/3) #

i stąd:

#x = log (y + 9) / log (2/3) #

Tak dla każdego #y in (-9, oo) # możemy znaleźć odpowiedni # x # takie, że:

# (2/3) ^ x-9 = y #

To potwierdza, że zasięg jest cały # (- 9, oo) #.

Niech domena f (x) będzie [-2.3], a zakres będzie [0,6]. Jaka jest domena i zakres f (-x)?

Domena to przedział [-3, 2]. Zakres to przedział [0, 6]. Dokładnie tak, jak jest, nie jest to funkcja, ponieważ jej domeną jest tylko liczba -2.3, a jej zasięg to przedział. Ale zakładając, że jest to tylko literówka, a rzeczywistą domeną jest przedział [-2, 3], jest to następujące: Niech g (x) = f (-x). Ponieważ f wymaga, aby jego niezależna zmienna przyjmowała wartości tylko w przedziale [-2, 3], -x (ujemny x) musi znajdować się w przedziale [-3, 2], co jest domeną g. Ponieważ g uzyskuje swoją wartość za pomocą funkcji f, jej zasięg pozostaje taki sam, bez względu na to, co użyjemy jako zmiennej niezależnej.

Jaka jest domena i zakres 3x-2 / 5x + 1 oraz domena i zakres odwrotności funkcji?

Domeną są wszystkie reale z wyjątkiem -1/5, która jest zakresem odwrotności. Zakres to wszystkie reale z wyjątkiem 3/5, który jest domeną odwrotności. f (x) = (3x-2) / (5x + 1) jest zdefiniowane i wartości rzeczywiste dla wszystkich x z wyjątkiem -1/5, więc jest to domena f i zakres f ^ -1 Ustawienie y = (3x -2) / (5x + 1) i rozwiązywanie dla x wydajności 5xy + y = 3x-2, więc 5xy-3x = -y-2, a zatem (5y-3) x = -y-2, więc w końcu x = (- y-2) / (5y-3). Widzimy, że y! = 3/5. Tak więc zakres f to wszystkie reale z wyjątkiem 3/5. Jest to również domena f ^ -1.

Jeśli f (x) = 3x ^ 2 i g (x) = (x-9) / (x + 1) i x! = - 1, to co f (g (x)) będzie równe? g (f (x))? f ^ -1 (x)? Jaka byłaby domena, zakres i zera dla f (x)? Jaka byłaby domena, zakres i zera dla g (x)?

F (g (x)) = 3 ((x-9) / (x + 1)) ^ 2 g (f (x)) = (3x ^ 2-9) / (3x ^ 2 + 1) f ^ - 1 (x) = root () (x / 3) D_f = {x w RR}, R_f = {f (x) w RR; f (x)> = 0} D_g = {x w RR; x! = - 1}, R_g = {g (x) w RR; g (x)! = 1}