Jakie są absolutne ekstrema f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) w [2,9]?

Odpowiedź:

Absolutnym minimum jest # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# które występuje, gdy # x = 9 #.

Absolutne maksimum to # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # które występuje, gdy # x = 2 #.

Wyjaśnienie:

Bezwzględne ekstrema funkcji są największymi i najmniejszymi wartościami y funkcji w danej domenie. Ta domena może zostać nam przekazana (jak w tym problemie) lub może być domeną samej funkcji. Nawet gdy otrzymamy domenę, musimy rozważyć domenę samej funkcji, w przypadku, gdy wyklucza ona jakiekolwiek wartości domeny, którą otrzymujemy.

#f (x) # zawiera wykładnik #1/3#, która nie jest liczbą całkowitą. Na szczęście domena #p (x) = root3 (x) # jest # (- oo, oo) # więc ten fakt nie jest problemem.

Jednak wciąż musimy wziąć pod uwagę fakt, że mianownik nie może być równy zero. Mianownik będzie równy zero kiedy #x = + - (1/3) = + - (sqrt (3) / 3) #. Żadna z tych wartości nie leży w danej domenie #2,9#.

Dlatego zwracamy się do znalezienia bezwzględnego ekstrema na #2,9#. Ekstrema bezwzględne występują w punktach końcowych domeny lub w ekstremach lokalnych, czyli punktach, w których funkcja zmienia kierunek. Ekstrema lokalne występują w punktach krytycznych, które są punktami w domenie, gdzie pochodna jest równa #0# lub nie istnieje. Dlatego musimy znaleźć pochodną. Używając reguły ilorazu:

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) * 6x) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * 3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

Jeśli się liczymy # -3x ^ (- 2/3) # z licznika mamy:

#f '(x) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3x ^ 2-1) #

Brak wartości # x # na #2,9# gdzie #f '(x) # nie istnieje. Nie ma też żadnych wartości #2,9# gdzie #f '(x) = 0 #. Nie ma więc punktów krytycznych w danej domenie.

Korzystając z „testu kandydatów”, odnajdujemy wartości #f (x) # w punktach końcowych. #f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * root3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

Szybkie sprawdzenie naszych kalkulatorów pokazuje, że:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (maksimum absolutne)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (absolutne minimum)

Jakie są absolutne ekstrema f (x) = (x ^ 3-7x ^ 2 + 12x-6) / (x-1) w [1,4]?

Nie ma globalnych maksimów. Globalne minima wynoszą -3 i występują przy x = 3. f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) (x ^ 2 - 6x + 6)) / (x - 1) f (x) = x ^ 2 - 6x + 6, gdzie x 1 f '(x) = 2x - 6 Bezwzględne ekstrema występuje na punkcie końcowym lub na liczba krytyczna. Punkty końcowe: 1 i 4: x = 1 f (1): „niezdefiniowane” lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 Punkt (y) krytyczny: f '(x) = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 At x = 3 f (3) = -3 Nie ma globalnych maksimów. Nie ma globalnych minimów -3 i występuje przy x = 3.

Jakie są absolutne ekstrema f (x) = 1 / (1 + x ^ 2) w [oo, oo]?

X = 0 to maksimum funkcji. f (x) = 1 / (1 + x²) Przeszukajmy f '(x) = 0 f' (x) = - 2x / ((1 + x²) ²) Widzimy więc, że istnieje unikalne rozwiązanie, f ' (0) = 0 A także, że to rozwiązanie jest maksimum funkcji, ponieważ lim_ (x do ± oo) f (x) = 0 i f (0) = 1 0 / oto nasza odpowiedź!

Jakie są absolutne ekstrema f (x) = 2cosx + sinx w [0, pi / 2]?

Maksimum bezwzględne jest przy f (.4636) ok. 2,2361 Absolutna min jest przy f (pi / 2) = 1 f (x) = 2cosx + sinx Znajdź f '(x) przez rozróżnienie f (x) f' (x) = - 2sinx + cosx Znajdź dowolne ekstrema względne, ustawiając f '(x) równe 0: 0 = -2sinx + cosx 2sinx = cosx W danym przedziale, jedynym miejscem, w którym f' (x) zmienia znak (za pomocą kalkulatora) jest x = .4636476 Teraz przetestuj wartości x, podłączając je do f (x), i nie zapomnij dołączyć granic x = 0 i x = pi / 2 f (0) = 2 kolorów (niebieski) (f (. 4636) ok. 2.236068) kolor (czerwony) (f (pi / 2) = 1) Dlatego absolutne maksim