Jak znaleźć int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx używając ułamków cząstkowych?

Odpowiedź:

Próbujesz podzielić funkcję racjonalną na sumę, która będzie naprawdę łatwa do zintegrowania.

Wyjaśnienie:

Po pierwsze: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

Rozkład częściowej frakcji pozwala to zrobić:

# (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) # z # a, b w RR # że musisz znaleźć.

Aby je znaleźć, musisz pomnożyć obie strony przez jeden z wielomianów po lewej stronie równości. Pokazuję wam jeden przykład, drugi współczynnik można znaleźć w ten sam sposób.

Znajdziemy #za#: musimy pomnożyć wszystko przez # x # w celu zlikwidowania drugiego współczynnika.

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) iff 1 / (x-1) = a + (bx) / (x-1) #.

#x = 0 iff -1 = #

Robisz to samo, aby znaleźć #b# (wszystko pomnożysz # (x-1) # następnie wybierz #x = 1 #), a dowiesz się tego #b = 1 #.

Więc # (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x-1) - 1 / x #, co implikuje to #int (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) dx = int (1 / (x-1) - 1 / x) dx = intdx / (x-1) - intdx / x = lnabs (x-1) - lnabsx #

Jak zintegrować f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) używając częściowych ułamków?

35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C Od mianownika jest już uwzględnione, wystarczy ułamki częściowe rozwiązać dla stałych: (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) Zauważ, że potrzebujemy zarówno x, jak i wyrażenia stałego na lewej frakcji, ponieważ licznik jest zawsze o 1 stopień niższy niż mianownik. Moglibyśmy pomnożyć się przez mianownik po lewej stronie, ale to byłaby ogromna ilość pracy, więc zamiast tego możemy być mądrzy i użyć metody ukrywania. Nie będę szczegółowo omawiać tego procesu, ale z

Jak zintegrować int (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) używając częściowych ułamków?

Musisz rozłożyć (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) jako ułamek częściowy. Szukasz a, b, c w RR takich, że (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x -6) + c / (x + 4). Pokażę ci, jak znaleźć tylko, ponieważ b i c znajdują się dokładnie w ten sam sposób. Mnożysz obie strony przez x + 3, to sprawi, że zniknie z mianownika lewej strony i sprawi, że pojawi się obok b i c. (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x-6) + c / (x + 4) iff (x -9) / ((x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4). Oceniasz to na x-3, aby sprawić, by b i c zniknęły i znaleźć. x = -3 iff 12/9 = 4/3 = a. Robi

Jak zintegrować int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) przy użyciu ułamków cząstkowych?

Int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) dx = -1/56 ln abs (x + 1) +71/7 ln abs (x-6) -97/8 ln abs (x-7) + C int (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) dx = int (-1/56 (1 / (x + 1)) + 71/7 (1 / (x-6)) - 97/8 (1 / (x-7))) dx = -1/56 ln abs (x + 1) +71/7 ln abs (x-6) -97/8 ln abs (x-7) + C kolor (biały) () Skąd pochodzą te współczynniki? (1-2x ^ 2) / ((x + 1) (x-6) (x-7)) = a / (x + 1) + b / (x-6) + c / (x-7) My potrafi obliczyć a, b, c za pomocą metody ukrywania Heaviside'a: a = (1-2 (kolor (niebieski) (- 1)) ^ 2) / (kolor (czerwony) (anuluj (kolor (czarny) (((kolor ( niebieski) (- 1)) + 1)))) ((kolor (niebieski) (- 1))