Jak zintegrować f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) używając częściowych ułamków?

Odpowiedź:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #

Wyjaśnienie:

Ponieważ mianownik jest już uwzględniony, wszystko, co musimy zrobić, to ułamki częściowe rozwiązać dla stałych:

# (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) #

Zauważ, że potrzebujemy obu # x # i stały termin na lewej frakcji, ponieważ licznik jest zawsze o 1 stopień niższy od mianownika.

Moglibyśmy pomnożyć się przez mianownik po lewej stronie, ale to byłaby ogromna ilość pracy, więc zamiast tego możemy być mądrzy i użyć metody ukrywania.

Nie będę szczegółowo omawiać tego procesu, ale zasadniczo to, co robimy, to dowiedzieć się, co sprawia, że mianownik jest równy zero (w przypadku #DO# to jest # x = 3 #) i podłączając go do lewej strony i oceniając przykrywając współczynnik odpowiadający stałej, daje to:

# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (tekst (////)) (3-7)) = - 6/11 #

Możemy zrobić to samo za #RE#:

# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (tekst (////))) = 35/51 #

Metoda ukrywania działa tylko dla współczynników liniowych, więc jesteśmy zmuszeni do rozwiązania dla #ZA# i #B# przy użyciu tradycyjnej metody i mnożenie przez mianownik po lewej stronie:

# 3x ^ 2-x = (Ax + B) (x-3) (x-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (x-3) #

Jeśli pomnożymy przez cały nawias i zrównamy wszystkie współczynniki różnych # x # i stałe terminy, możemy znaleźć wartości #ZA# i #B#. Jest to dość długa kalkulacja, więc zostawię link dla każdego, kto jest zainteresowany:

Kliknij tutaj

# A = -79 / 561 #

# B = -94 / 561 #

Daje to, że naszą całką jest:

#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) dx #

Pierwsze dwa można rozwiązać, używając raczej prostych podstawień u mianowników:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Możemy podzielić pozostałą całkę na dwie:

#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Nazywam lewą Integral 1 i prawą Integralną 2.

Całka 1

Możemy rozwiązać tę całkę przez podstawienie u # u = x ^ 2 + 2 #. Pochodna jest # 2x #, więc dzielimy się przez # 2x # integrować w odniesieniu do # u #:

# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int anuluj (x) / (2 anuluj (x) u) du = 79 / 2int 1 / u du = 79/2 ln | u | + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #

Całka 2

Chcemy, aby to integralne było w formularzu # tan ^ -1 #:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Jeśli wprowadzimy substytucję za pomocą # x = sqrt2u #, będziemy w stanie przekształcić naszą integralną część w tę formę. Aby zintegrować w odniesieniu do # u #, musimy pomnożyć przez # sqrt2 # (ponieważ wzięliśmy pochodną w odniesieniu do # u # zamiast # x #):

# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #

# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #

Uzupełnienie oryginalnej całki

Teraz, gdy wiemy, co jest równe Integral 1 i Integral 2, możemy uzupełnić oryginalną integrację, aby uzyskać naszą ostateczną odpowiedź:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #