Dwa rogi trójkąta mają kąty (2 pi) / 3 i (pi) / 4. Jeśli jedna strona trójkąta ma długość 4, jaki jest najdłuższy możliwy obwód trójkąta?

Odpowiedź:

# P_max = 28,31 # jednostki

Wyjaśnienie:

Problem daje ci dwa z trzech kątów w dowolnym trójkącie. Ponieważ suma kątów w trójkącie musi sumować się do 180 stopni, lub #Liczba Pi# radianów, możemy znaleźć trzeci kąt:

# (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi #

# x = pi- (2pi) / 3-pi / 4 #

# x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 #

# x = pi / 12 #

Narysujmy trójkąt:

Problem stwierdza, że jeden z boków trójkąta ma długość 4, ale nie określa, która strona. Jednak w każdym trójkącie prawdą jest, że najmniejszy bok będzie przeciwny od najmniejszego kąta.

Jeśli chcemy zmaksymalizować obwód, powinniśmy wykonać bok o długości 4 po przeciwnej stronie od najmniejszego kąta. Ponieważ pozostałe dwie strony będą większe niż 4, gwarantuje to, że zmaksymalizujemy obwód. Dlatego trójkąt wyjściowy staje się:

Wreszcie możemy użyć prawo sinów znaleźć długości pozostałych dwóch stron:

#sin (a) / A = sin (b) / B = sin (c) / C #

Po podłączeniu otrzymujemy:

#sin (pi / 12) / 4 = sin (pi / 4) / x = sin ((2pi) / 3) / y #

Rozwiązując dla xi y otrzymujemy:

# x = 10,93 # i # y = 13,38 #

Dlatego maksymalny obwód to:

# P_max = 4 + 10,93 + 13,38 #

# P_max = 28,31 #

Uwaga: Ponieważ problem nie określa jednostek długości w trójkącie, po prostu użyj „jednostek”.