Rozwiązać problem nierówności?

Odpowiedź:

#x> -7 #

Wyjaśnienie:

Pierwsze rozważenie #x ne -5 #

#sqrt (x ^ 2 + x-6) + 3x + 13> x + 5 # lub

#sqrt (x ^ 2 + x-6)> - (2x + 8) # lub

# -sqrt (x ^ 2 + x-6) <2x + 8 #

teraz wyrównuje obie strony

# x ^ 2 + x-6 <(2x + 8) ^ 2 # lub

# 3x ^ 2 + 31x + 70> 0 # i wtedy

# {x> -7} uu {x <-10/3} #

ale po sprawdzeniu możliwe jest rozwiązanie

#x> - 7 #

UWAGA

Operacja kwadratu wprowadza dodatkowe rozwiązania dodatkowe.

Odpowiedź:

Założenie: to jest # ((sqrt (x ^ 2 + x-6)) + (3x + 13)) / ((x + 5))> 1 #

Zauważ, że ten zestaw rozwiązań #color (czerwony) („EXCLUDES” x = -5 #

# -7,59 <x <3,07 # jako przybliżona odpowiedź

#color (biały) („d”) - (32 + 2sqrt (46)) / 6 <x <+ (-32 + 2sqrt (46)) / 6 # jako dokładna odpowiedź

Wyjaśnienie:

Używam nawiasów do grupowania „rzeczy” w tej chwili.

Pomnóż obie strony przez # (x + 5) # dający

#color (zielony) (((sqrt (x ^ 2 + x-6)) + (3x + 13)) / ((x + 5)) xxcolor (czerwony) ((x + 5)) kolor (biały) („dd”)> kolor (biały) („dd”) 1 kolor (czerwony) (xx (x + 5)) #

#color (zielony) ((sqrt (x ^ 2 + x-6)) + (3x + 13) xxcolor (czerwony) ((x + 5)) / ((x + 5)) kolor (biały) („dd”)> kolor (biały) („dd”) kolor (czerwony) ((x + 5))) #

Ale # (x + 5) / (x + 5) = 1 #

#color (zielony) ((sqrt (x ^ 2 + x-6)) + (3x + 13) xxcolor (biały) ("dd") 1 kolor (biały) ("ddddd")> kolor (biały) („dd”) kolor (czerwony) ((x + 5))) #

#color (zielony) ((sqrt (x ^ 2 + x-6)) + (3x + 13) kolor (biały) ("dddddddddddd")> kolor (biały) ("dd") (x + 5)) #

Odejmować # (3x + 13) # z obu stron

#color (zielony) (sqrt (x ^ 2 + x-6) kolor (biały) („ddd”)> kolor (biały) („ddd”) (x + 5) - (3x + 13)) #

ale # - (3x + 13) # jest taki sam jak # -3x-13 #

#color (zielony) (sqrt (x ^ 2 + x-6) kolor (biały) ("ddd")> kolor (biały) ("ddd") x + 5-3x-13) #

#color (zielony) (sqrt (x ^ 2 + x-6) kolor (biały) ("ddd")> kolor (biały) ("ddd") -2x-8) #

Kwadrat po obu stronach

#color (zielony) (x ^ 2 + x-6> (-2x-8) ^ 2) #

#color (zielony) (x ^ 2 + x-6> + 4x ^ 2 + 32x + 64) #

Odejmować # x ^ 2 + x-6 # z obu stron

#color (zielony) (0> 3x ^ 2 + 32x + 70) #

Za pomocą # ax ^ 2 + bx + c -> x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

gdzie # a = 3; b = 32 c = 70 # dający:

#x = (- 32 + -sqrt (32 ^ 2-4 (3) (70))) / (2 (3)) #

#x = (- 32 + -sqrt (184)) / 6 #

#x = (- 32 + -sqrt (2 ^ 2xx46)) / 6 = (-32 + -2sqrt (46)) / 6 #

# x ~~ 3.07 i x ~~ -7.59 # 2 do miejsc dziesiętnych

Ale to jest nierówność i są to skrajności domeny (wejście # -> x # wartości) podając:

# -7,59 <x <3,07 # jako przybliżona odpowiedź

#color (biały) („d”) - (32 + 2sqrt (46)) / 6 <x <+ (-32 + 2sqrt (46)) / 6 # jako dokładna odpowiedź

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Patrząc wstecz na pierwotną nierówność

# ((sqrt (x ^ 2 + x-6)) + (3x + 13)) / ((x + 5))> 1 #

Jest to niezdefiniowane, gdy mianownik wynosi 0. Tak więc # x = -5 # nie jest dozwolone'