Pani Fox zapytała swoją klasę, czy suma 4,2 i pierwiastek kwadratowy z 2 są racjonalne lub irracjonalne? Patrick odpowiedział, że suma będzie irracjonalna. Podaj, czy Patrick jest poprawny lub nieprawidłowy. Uzasadnij swoje rozumowanie.

Odpowiedź:

Suma # 4.2 + sqrt2 # jest irracjonalny; dziedziczy nigdy nie powtarzającą się właściwość rozszerzania dziesiętnego #sqrt 2 #.

Wyjaśnienie:

Na Liczba niewymierna jest liczbą, która nie może być wyrażona jako stosunek dwóch liczb całkowitych. Jeśli liczba jest nieracjonalna, to jej ekspansja dziesiętna trwa wiecznie bez wzorca i odwrotnie.

Już to wiemy #sqrt 2 # jest irracjonalne. Rozpoczyna się jego rozszerzenie dziesiętne:

#sqrt 2 = 1.414213562373095 … #

Numer #4.2# jest racjonalny; można to wyrazić jako #42/10.# Kiedy dodamy 4,2 do dziesiętnego rozszerzenia #sqrt 2 #, dostajemy:

#sqrt 2 + 4.2 = kolor (biały) + 1.414213562373095 … #

#color (biały) (sqrt 2) kolor (biały) + kolor (biały) (4.2 =) + 4.2 #

#color (biały) (sqrt 2) kolor (biały) + kolor (biały) (4.2 =) pasek (kolor (biały) (+) 5.614213562373095 …) #

Łatwo zauważyć, że ta suma również nie kończy się ani nie ma powtarzającego się wzoru, więc jest także irracjonalna.

Ogólnie rzecz biorąc, suma liczby wymiernej i liczby irracjonalnej zawsze będzie irracjonalna; argument jest podobny do powyższego.

Odpowiedź:

#color (niebieski) („poprawny”) #

Wyjaśnienie:

Jeśli zaczniemy od stwierdzenia, że suma jest racjonalna: Wszystkie liczby wymierne można zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych # a / bcolor (biały) (88) # #b! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21/5 + sqrt (2) = a / b #

#sqrt (2) = a / b-21/5 #

#sqrt (2) = (5a-21b) / (5b) #

Iloczyn dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą:

Różnica dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą:

Więc:

# 5a-21b # jest liczbą całkowitą.

# 5b # jest liczbą całkowitą.

Stąd:

# (5a-21b) / (5b) # jest racjonalny.

Ale to wiemy #sqrt (2) # jest irracjonalne, więc jest to sprzeczność z naszym założeniem, że suma była racjonalna, dlatego suma liczby nieracjonalnej i liczby wymiernej jest zawsze irracjonalna.