Jak zintegrować int e ^ x sinx cosx dx?

Odpowiedź:

#int ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Wyjaśnienie:

Najpierw możemy użyć tożsamości:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

co daje:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

Teraz możemy użyć integracji według części. Wzór to:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

pozwolę #f (x) = sin (2x) # i #g '(x) = e ^ x / 2 #. Stosując formułę otrzymujemy:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

Teraz możemy ponownie zastosować integrację według części, tym razem z #f (x) = cos (2x) # i #g '(x) = e ^ x #:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos (2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx) #

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int sin (2x) e ^ x dx #

Teraz mamy całkę po obu stronach równości, więc możemy rozwiązać ją jak równanie. Po pierwsze, dodajemy 2 razy integralną część obu stron:

# 5 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

Ponieważ chcieliśmy połowę jako współczynnik na pierwotnej całce, dzielimy obie strony przez #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Odpowiedź:

# int e ^ x sinxx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

Wyjaśnienie:

Szukamy:

# I = int e ^ x sinxx dx #

Które używają tożsamości:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

Możemy napisać jako:

# I = 1/2 int e ^ x sinx xx #

# I = 1/2

Gdzie dla wygody oznaczamy:

# I_S = int e ^ x sinx xx #, i # I_C = int e ^ x Kos2x dx #

Teraz ponownie wykonujemy integrację według części.

Pozwolić # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

Po podłączeniu do formuły IBP otrzymujemy:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2 xx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sinx - 1/2 I_S # ….. B}

Teraz mamy dwa równoczesne równania w dwóch niewiadomych #JEST#. i # I_C #, więc zastępując B w A mamy:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sinx - 1/2 I_S} #

# = -1/2 ^ ^ xos2x + 1/4 ^ ^ x2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x Kos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x Kos2x} #

Prowadzący do:

# I = 1/2 I_S + C #

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #