Czym jest pochodna f (x) = x (sqrt (1 - x ^ 2))?

Odpowiedź:

# (df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)) #.

Wyjaśnienie:

Będziemy wymagać użycia dwóch reguł: reguły produktu i reguły łańcucha. Reguła produktu stanowi, że:

# (d (fg)) / dx # = # (df) / dx * g (x) + f (x) * (dg) / dx #.

Reguła łańcucha mówi, że:

# (dy) / dx = (dy) / (du) (du) / dx #, gdzie # u # jest funkcją # x # i # y # jest funkcją # u #.

W związku z tym, # (df) / dx = (x) '* (sqrt (1-x ^ 2)) + x * (sqrt (1-x ^ 2))' #

Aby znaleźć pochodną #sqrt (1-x ^ 2) #, użyj reguły łańcucha z

#u = 1-x ^ 2: (sqrtu) '= 1 / (2sqrtu) * u' #

# = - (2x) / (2 (sqrt (1-x ^ 2)) # # = -x / (sqrt (1-x ^ 2)) #.

Zastępowanie tego wyniku w oryginalnym równaniu:

# (df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)) #.