Jaka jest pochodna i? + Przykład

Możesz się leczyć #ja# jak każda stała #DO#. Więc pochodna #ja# byłoby #0#.

Jednak gdy mamy do czynienia z liczbami zespolonymi, musimy uważać na to, co możemy powiedzieć o funkcjach, pochodnych i całkach.

Weź funkcję #F z)#, gdzie # z # jest liczbą złożoną (czyli #fa# ma złożoną domenę). Następnie pochodna #fa# jest zdefiniowany w podobny sposób jak w przypadku rzeczywistym:

# f ^ prime (z) = lim_ (h do 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) #

gdzie # h # jest teraz liczbą złożoną. Widząc, że liczby złożone mogą być uważane za leżące w płaszczyźnie, zwanej płaszczyzną złożoną, wynik tego ograniczenia zależy od tego, jak wybraliśmy # h # iść do #0# (czyli z jaką ścieżką wybraliśmy to).

W przypadku stałej #DO#, łatwo zauważyć, że jest to pochodna #0# (dowód jest analogiczny do prawdziwego przypadku).

Jako przykład, weź #fa# być #f (z) = bar (z) #, to jest, #fa# pobiera liczbę zespoloną # z # do jego koniugatu #bar (z) #.

Następnie pochodna #fa# jest

# f ^ prime (z) = lim_ (h do 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) = lim_ (h do 0) (słupek (z + h) -bar (z)) / (h) = lim_ (h do 0) (bar (h) + bar (z) -bar (z)) / (h) = lim_ (h do 0) (bar (h)) / (h) #

Rozważ zrobienie # h # iść do #0# używając tylko liczb rzeczywistych. Ponieważ złożona koniugacja liczby rzeczywistej jest sama w sobie, mamy:

# f ^ prime (z) = lim_ (h do 0) (bar (h)) / (h) = = lim_ (h do 0) h / h = = lim_ (h do 0) 1 = 1 #

Teraz, zrób # h # iść do #0# używając tylko czystych liczb urojonych (numery formularza # ai #). Od koniugacji czystej liczby wyimaginowanej # w # jest # -w #, mamy:

# f ^ prime (z) = lim_ (h do 0) (bar (h)) / (h) = = lim_ (h do 0) -h / h = = lim_ (h do 0) -1 = -1 #

I dlatego #f (z) = bar (z) # nie ma pochodnej.