Trzy pręty o masie M i długości L są połączone ze sobą, tworząc trójkąt równoboczny. Jaki jest moment bezwładności układu wokół osi przechodzącej przez jej środek masy i prostopadłej do płaszczyzny trójkąta?

Odpowiedź:

# 1/2 ML ^ 2 #

Wyjaśnienie:

Moment bezwładności pojedynczego pręta wokół osi przechodzącej przez jego środek i prostopadłej do niego

# 1/12 ML ^ 2 #

To z każdej strony trójkąta równobocznego wokół osi przechodzącej przez środek trójkąta i prostopadłej do jego płaszczyzny

# 1 / 12ML ^ 2 + M (L / (2sqrt3)) ^ 2 = 1/6 ML ^ 2 #

(przez twierdzenie osi równoległej).

Moment bezwładności trójkąta wokół tej osi jest wtedy

# 3 razy 1/6 ML ^ 2 = 1/2 ML ^ 2 #

Zakładając, że pręty są cienkie, położenie środka masy każdego pręta jest w środku pręta. Gdy pręty tworzą trójkąt równoboczny, środek masy układu będzie w środku ciężkości trójkąta.

Pozwolić #re# być odległością środka ciężkości od dowolnego boku.

# d / (L / 2) = tan30 #

# => d = L / 2tan30 #

# => d = L / (2sqrt3) # …..(1)

Moment bezwładności pojedynczego pręta wokół osi przechodzącej przez środek ciężkości prostopadle do płaszczyzny trójkąta za pomocą osi termicznej jest

#I_ „pręt” = I_ „cm” + Md ^ 2 #

Istnieją trzy podobnie umieszczone pręty, a więc całkowity moment bezwładności trzech prętów byłby

#I_ „system” = 3 (I_ „cm” + Md ^ 2) #

# => I_ "system" = 3I_ "cm" + 3Md ^ 2 # …….(2)

Drugi termin używający (1) to

# 3Md ^ 2 = 3M (L / (2sqrt3)) ^ 2 #

# => 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # …..(3)

Jako moment bezwładności jednego pręta wokół jego środka masy wynosi

#I_ "cm" = 1 / 12ML ^ 2 #

Pierwszy termin w (2) staje się

# 3I_ "cm" = 3xx1 / 12ML ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # ….(4)

Używając (3) i (4), równanie (2) staje się

#I_ "system" = 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2