Jaka jest długość arcl (t-3, t + 4) na t w [2,4]?

Odpowiedź:

# A = 2sqrt2 #

Wyjaśnienie:

Wzór na parametryczną długość łuku wynosi:

# A = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt #

Zaczynamy od znalezienia dwóch pochodnych:

# dx / dt = 1 # i # dy / dt = 1 #

Daje to, że długość łuku wynosi:

# A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = sqrt2t _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 #

W rzeczywistości, ponieważ funkcja parametryczna jest tak prosta (jest to linia prosta), nie potrzebujemy nawet wzoru całkowego. Jeśli wykreślimy funkcję na wykresie, możemy użyć zwykłego wzoru odległości:

# A = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) = sqrt (4 + 4) = sqrt8 = sqrt (4 * 2) = 2sqrt2 #

Daje nam to taki sam wynik jak całka, pokazując, że każda z tych metod działa, chociaż w tym przypadku zaleciłbym metodę graficzną, ponieważ jest prostsza.

Długość prostokąta jest 3 razy większa niż szerokość. Jeśli długość została zwiększona o 2 cale, a szerokość o 1 cal, nowy obwód wynosiłby 62 cale. Jaka jest szerokość i długość prostokąta?

Długość wynosi 21, a szerokość 7 Używam l dla długości, a dla szerokości Najpierw podaje się, że l = 3w Nowa długość i szerokość to l + 2 i w + 1 odpowiednio Nowy obwód to 62 Więc, l + 2 + l + 2 + w + 1 + w + 1 = 62 lub, 2l + 2w = 56 l + w = 28 Teraz mamy dwie relacje między l i w Zastąp pierwszą wartość lw drugim równaniu Otrzymujemy, 3w + w = 28 4w = 28 w = 7 Wprowadzenie tej wartości w w jednym z równań, l = 3 * 7 l = 21 Tak więc długość wynosi 21, a szerokość 7

Obwód trójkąta wynosi 29 mm. Długość pierwszej strony jest dwukrotnie większa niż długość drugiej strony. Długość trzeciej strony wynosi 5 więcej niż długość drugiej strony. Jak znaleźć boczne długości trójkąta?

S_1 = 12 s_2 = 6 s_3 = 11 Obwód trójkąta jest sumą długości wszystkich jego boków. W tym przypadku podaje się, że obwód wynosi 29 mm. Więc w tym przypadku: s_1 + s_2 + s_3 = 29 Więc rozwiązywanie dla długości boków, tłumaczymy instrukcje w podanej formie równania. „Długość pierwszej strony jest dwa razy dłuższa niż druga strona” Aby rozwiązać ten problem, przypisujemy zmienną losową s_1 lub s_2. W tym przykładzie pozwoliłbym x być długością drugiej strony, aby uniknąć ułamków w moim równaniu. więc wiemy, że: s_1 = 2s_2, ale ponieważ pozwoliliśmy s_2 być x, teraz wiemy, że: s_1 = 2x s

Jaka jest długość arcl (2t ^ 2-t, t ^ 4-t) na t w [-4,1]?

Wzór na długość ar L wynosi L = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt Twoje równania parametryczne to x = 2t ^ 2-t oraz y = t ^ 4-t , więc dx / dt = 4t-1 i dy / dt = 4t ^ 3-1. W przedziale [a, b] = [-4,1] powoduje to, że L = int_-4 ^ 1sqrt ((4t-1) ^ 2 + (4t ^ 3-1) ^ 2) dt Inside, ( 4 t - 1) ^ 2 + (4 t ^ 3 - 1) ^ 2, upraszcza do 16 t ^ 6-8 t ^ 3 + 16 t ^ 2-8 t + 2, ale to nie czyni całki nieokreślonej łatwiej. A twoja całka numeryczna wynosi około 266,536.